第12讲 勾股定理的逆定理-2021-2022学年秋季八年级数学基础培优精讲精练学案（苏科版）

学科网（北京）股份有限公司 第12讲 勾股定理的逆定理 教学目标 1.了解勾股定理的逆定理的证明过程，会阐述勾股定理的逆定理. 2.能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，知道勾股数的含义. 3.经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理的能力，体会“形”与“数”的内在联系. 考点关注 1.用“如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2 + b2 = c2”，那么这个三角形是直角三角形“这一方法进行直角三角形的判定.（常考点） 2.用勾股数解决一些简单的问题.（必考点） 知识点1 勾股定理的逆定理 1.文字描述:如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.几何语言:如图3－17所示，在△ABC中， ∵a2 + b2 = c2， ∴△ABC是直角三角形. 3.应用勾股定理的逆定理必须已知三角形的三边长，只有满足较小两边的平方和等于最大边的平方，才可以判定这个三角形是直角三角形，此时最大边所对的角是直角. 4.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断的一般步骤是:（1）确定最大边长（不妨设最大边长为c，另两条边长分别设为a，b）；（2）计算a2与b2的值.若a2 + b2 = c2，则此三角形是直角三角形；若a2 + b2 > c2，则此三角形为锐角三角形；若a2 + b2 < c2，则此三角形为钝角三角形. 例1 下列长度的三条线段可以组成直角三角形的是 （ ） A.3，4，4 B.3，4，5 C.3，4，6 D.3，4，8 巩固练习1 下列各组长度的线段，其中不能组成直角三角形的一组是 （ ） A.5，12，13 B.6，8，10 C.7，20，25 D.8，15，17 知识点2 勾股数 在我国很早的一部数学著作《周髀算经》中记载着:“勾广三，股修四，经隅五”，简称“勾三股四玄五”，其中“三、四、五”是最简单的一组勾股数. 1.勾股数的概念:满足关系a2 + b2 = c2的3个正整数a，b，c称为勾股数. 2.已知直角三角形的任意两边长后，可利用勾股定理求得第三边的长，为了计算迅速，要熟记常见的勾股数. （1）常见的勾股数有:①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15… （2）一组勾股数中，各数相同的正整数倍构成的数组也是勾股数. 3.勾股数的作用:利用勾股数可以构造直角三角形. 例2 下列各组数中，是勾股数的是 （ ） A.6，8，10 B.4，6，8 C.0.3，0.4，0.5 D.3，6，9 巩固练习2 下列各组三个数不是勾股数的是 （ ） A.5，12，13 B.4，5，7 C.7，24，25 D.30，40，50 —— 题型总结 —— 题型1 与勾股定理的逆定理相关的网格问题 例1 如图，是一个6 × 6的网格，在△ABC，△A′B′，△A″B″C″中，直角三角形有 （ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 巩固练习1 如图所示，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图的格点上，那么∠ABC的度数为 （ ） 题型2 与勾股定理的逆定理相关的计算问题 例2 如图3－19所示，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE的位置.若AE = 1，BE = 2，CE = 3，求∠BEA的度数. 巩固练习2 如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，P是△ABC内一点，且PB = 1，PC = 2，PA = 3.求∠BPC的度数. 2.【答案】解:如图，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP，易知CP = CD = 2，∠DCP = 90°.DB = PA = 3，∴△CPD为等腰直角三角形，∴PD2 = PC2 + CD2 = 22 + 22 = 8，∠CPD = 45°，在△PDB中，DB2 = 9，PB2 = 1，PD2 = 8，∵1 + 8 = 9，∴PB2 + PD2 = BD2，∴△PBD为直角三角形，且∠DPB = 90°，∴∠BPC = 45° + 90° = 135°. 巩固练习3 如图所示，已知四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为6，8，26，24，∠CBA = 90°，求四边形ABCD的面积.