第11讲 勾股定理-2021-2022学年秋季八年级数学基础培优精讲精练学案（苏科版）

学科网（北京）股份有限公司 第11讲 勾股定理 教学目标 1.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想. 2.能够运用勾股定理求直角三角形中未知边的长. 3.能够运用已有的数学知识验证勾股定理. 4.经历用多种拼图法验证句股定理的过程，发展用数学的眼光观察生活和有条理思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值. 考点关注 1.综合运用已有知识解决问题，加深对数形结合思想的认识.（常考点） 2.运用勾股定理进行相关的计算与证明，通过拼图验证勾股定理.（必考点） 知识点1 勾股定理 1.文字描述:直角三角形两条直角边a，b的平方和等于斜边c的平方. 2.几何语言:如图，在Rt△ABC中， ∵∠C = 90°，∴a2 + b2 = c2. 3.我国古代对勾股定理的描述:我国古代把直角三角形件是直角三角形，定理的结论是两直角边的平方和等于斜较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，所以勾股定理又可以表述成“勾”的平方 + “股”的平方 = “弦”的平方. 注意:（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三角形三条边之间就没有这种关系；（2）应用勾股定理时，要分清直角三角形中的直角边长和斜边长，当c为斜边长时，a2 + b2 = c2；当b为斜边长时，a2 + b2 = c2；当a为斜边长时，a2 + b2 = c2. 例1 在Rt△ABC中，若斜边AB = 4，则AC2 + BC2等于 （ ） A.4 B.8 C.9 D.16 巩固练习1 在直角三角形中，若两直角边长为6和8，则斜边长为（　　　） A.7 B.8 C.9 D.10 例2 若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b一4|=0，则该直角三角形的第三边长的平方为 . 巩固练习2 若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x2的值是 _________ . 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证有很多方法，其中借助图形的面积验证勾股定理是常用的方法.用拼图法验证勾股定理: （1）在如图3－2所示的拼法中，以a + b为边长的大正方形是由4个全等的直角三角形和以c为边长的小正方形拼成的，则大正方形的面积可表示为（a+b）2，又可表示为4 × ab + c2， 所以（a+b）2 = 4 × ab + c2，整理可得a2 + b2 = c2. （2）在如图3－3所示的拼法中，以c为边长的大正方形的面积可表示成4个全等的直角三角形与边长为b－a的小正方形的面积的和（其中4个全等的直角三角形的较短边长为a，较长边长为b），所以4 × ab + （b-a）2 = c2，整理可得a2 + b2 = c2. 例3 把一个直立的火柴盒放倒（如图），连接AD，请你用不同的方法计算梯形 ACED的面积，再次验证勾股定理.（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线长为c） 巩固练习3 如图所示，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE，DE；DE的延长线 交AB于F，已知DE = AB，∠CAD = 45°. （1）求证DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明:如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°， BC = a，AC = b，AB = c，求证a2 + b2 = c2. —— 题型总结 —— 题型1 运用勾股定理求线段的长度 例1如图3－5所示，在△ABC中，AB = AC，△ABC的高BH，CM交于点P. （1）求证PB = PC； （2）若PB = 5，PH = 3，求AB的长. 巩固练习1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C = 90°.BC = 6，AC = 8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE. （1） 求AD的长；（2）求AE的长. 题型2 与勾股定理有关的面积计算 例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC = 20，BC = 15，BD = 9. （1）求CD的长； （2）求△ABC的面积. 巩固练习2 已知等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，则△ABC的面积为 _________ . 题型3 运用勾股定理说明三角形中线段的平方之间的关系 例3 如图，在Rt