2.4 抛物线（提高练）-2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）

2021-2022学年高二数学同步训练精选新题汇编（人教A版选修2-1）（提高） 第二章《圆锥曲线与方程》 2.4 抛物线 一．选择题 1．（2021春•瑶海区月考）已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（　　） A．2 B． C． D．1 【完整解答】解：设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线l与抛物线方程，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0， 由韦达定理可得，y1+y2＝4m， ∵， ∴4m＝4，即m＝1， ∴直线l的方程为y＝x﹣n， ∴k＝1． 故选：D． 2．（2021•鼓楼区校级模拟）过M（2，﹣2p）引抛物线x2＝2py（p＞0）的切线，切点分别为A，B．若AB的斜率等于2，则p＝（　　） A． B． C．1 D．2 【完整解答】解：∵抛物线x2＝2py（p＞0）， ∴， 求导可得y'＝， 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，且 ∵切线MA过点M（2，﹣2p）， ∴切线MA的方程为，即， 同理可得切线MB的方程为， ∵两切线都过点M（2，﹣2p）， ∴，即， 即点A（x1，y1），B（x2，y2）均在直线， ∴直线AB的方程为， ∴，解得p＝1． 故选：C． 3．（2021•涪城区校级模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，准线l上有点M（﹣1，2），MA⊥MB，则直线l的斜率为（　　） A．1 B． C．±1 D．± 【完整解答】解：因为抛物线的方程为y2＝4x，则其焦点F（1，0）， 设过F的直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 则， 所以， 因为M（﹣1，2），MA⊥MB， 所以＝（x1+1，y1﹣2）•（x2+1，y2﹣2）＝0， 即x1x2+（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝0， 则， 所以k2﹣2k+1＝0，解得k＝1， 则直线l的斜率为1． 故选：A． 4．（2021•二模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B．若|AB|＝9，则抛物线C的方程为（　　） A．x2＝3y B．x2＝12y C．x2＝ D．x2＝ 【完整解答】解：由已知可得直线AB的方程为， 联立方程组，可得， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝3p， 因为|AB|＝9，则y1+y2+p＝9， 所以4p＝9，则， 所以所求抛物线C的方程为． 故选：C． 5．（2021•一模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线l'：x﹣y+2＝0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N， ∴d1+d2＝|MF|+|MN|， 当M、F、N三点共线时，d1+d2最小， ∵抛物线C：y2＝4x， ∴焦点F（1，0）， ∴|FN|＝d＝， 设直线l'与x轴的交点为D， 令y＝0，得x＝﹣2，即FD＝2+1＝3， 在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝． 故选：A． 6．（2021•全国Ⅱ卷模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，交抛物线的准线于点P，若P为PB．中点，且|AF|＝，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【完整解答】解：如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1， 过点A作AE⊥BB1，垂足为E， 因为F是PB的中点，所以|B1F|＝|BF|＝|PF|， 又根据抛物线的定义可得，|BB1|＝|BF|， 故△B1FB为等边三角形，则∠ABE＝60°， 在Rt△ABE中，设|AB|＝x，则|BE|＝， 又|BE|＝|BB1|﹣|B1E|＝|BB1|﹣|AA1|＝|AB|﹣|AF|﹣|AF|＝x﹣， 则＝x﹣，解得， 所以|AB|＝． 故选：D． 7．（2021•河南模拟）已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M（﹣1，﹣1）满足，则|AB|＝（　　） A． B． C．5 D．6 【完整解答】解：由题意知，抛物线C的准线为x＝﹣1，即，得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F（1，0）． 因为直线l过抛物线的焦点F（1，0），所以直线l的方程为y＝k（x﹣1）． 因为，所以M在以AB为直径的圆上． 设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组两式相减可