考点15 导数在不等式中的应用-2022年高考数学（理）一轮复习基础夯实限时训练

考点15导数在不等式中的应用 （满分74分 建议用时：45分钟） 一、填空题 1．（2021·江西宜春市·上高二中高二）定义在上的函数的导函数为.若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：设，则， 因为，所以，为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，， ，即，，，故选：C. 2．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：∵， ∴， ∴函数关于对称， 又， ∵， ∴， ∴恒成立，则是增函数， ∵， ∴， ∴，得，故选：A. 3．（2021·青海西宁市·高三）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】：B 【解析】：令函数，则， 所以在R上单调递增. 因为，所以原不等式等价于， 所以所求不等式的解集为故选：B 4．（2021·河南高二三模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：的定义域为，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又 所以的图像如图所示， 令，恒过定点 要使，必有图像恒在图像的下方，则， 当与的图像相切于点时，m取得最小值. 当时，， 令，则，所以 此时切线的斜率为-1，故，故选：D 5．（2021·全国高三）若不等式恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：由恒成立，得， 设，， 当时，，在上单调递减，不成立； 当时，令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即，， ， 设，， 令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，故选：C. 6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三）已知函数满足(其中是的导数)，令，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：令，则， 故在上单调递增. ，即， ， .故选：D. 7．（2021·通辽新城第一中学高三）下列四个命题：①；②；③；④.其中真命题的个数是（ ）(为自然对数的底数，) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】：D 【解析】：构造函数， 导数， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以可得． 因为，所以，即，故①正确； 又，所以，即，所以，即，故②错误； 又，所以，即，所以，故③错误； 因为，所以， 即，即， 则，故④不正确．故选：． 8．（2021·全国高三）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：由题可得，，令（），则，所以在上单调递减，注意到， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以，又， 所以当时，，又当时，，所以不等式可转化为，作出函数的大致图象如图所示，由图可知当且时，， 故选：C． 二、填空题 9．（2021·重庆高三三模）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】： 【解析】：因为是奇函数， 所以函数的图形关于（1，3）对称，且， 因为当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，故函数在上单调递增， 根据函数的对称性可知，函数在上单调递增， 则不等式可化为或， 解得或． 故答案为：． 10．（2021·福建省福州第一中学高三）已知函数，则不等式的解集为___________. 【答案】： 【解析】：由题意，函数的定义域为， 且满足，即， 所以函数为奇函数， 又由， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以函数为上单调递减函数， 又因为，即， 即，所以，即， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 三、解答题 11．（2021·宁夏银川市·银川二中）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求证：． 【答案】：（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】：（1）， 当时，在R上单调递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. （2）证明：当时，， 令， ，令， 因为恒成立， 所以在R上单调递增，， 由零点存在性定理可得存在，使得，即， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 由二次函数性质可得， 所以，即，得证． 12．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 【答案】：（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】：（1）由得 知当时在上单调递减 当时， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减. （2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增， ，即有， ， 以上各式相