考点14 导数在函数方程中的应用-2022年高考数学（理）一轮复习基础夯实限时训练

考点14导数在函数方程中的应用 (满分74分 建议用时：45分钟) 一、选择题 1．（2021·全国高三）已知函数．若的零点恰有个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：由题可知，当时，，在上单调递增，； 当时，，在上单调递减，， 画出函数和的图象（如图），可知，故选：C 2．（2021·全国高三）定义在上的函数满足，，若，则函数在区间内（ ） A．没有零点 B．有且仅有1个零点 C．至少有2个零点 D．可能有无数个零点 【答案】：B 【解析】：由题可知: ，函数关于直线对称， 又，当时，；当时， 所以函数在单调递减，在单调递增， 由，所以， 根据对称性可知 根据零点存在性定理可知：函数在区间内有且仅有1个零点，故选：B 3．（2020·南昌县莲塘第二中学）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：首先时，不等式为，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或3是不等式的另一个整数解． 若1不是不等式的解，则，，此时不等式化为： ，易知函数在上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等式的解，不合题意． 所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解，， 所以时，不等式恒成立，即在上恒成立， 设， 则，时，，，单调递增， 所以，所以． 综上的取值范围是．故选：C． 4．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：对函数求导，，∴，当时，单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，要有三个不等实根，则，且，解得．故选:C 5．（2021·全国高三）已知f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝，若关于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2个实数根，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣） C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣} 【答案】：D 【解析】：当时， 则 令，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，故在定义域上恒成立， 由有且只有2个实数根， 得方程有2个解， 又，所以， 则在有且仅有1个解， 因为，则或， 所以或， 即实数的取值范围是，故选：D 6．（2021·河南高三）已知函数，，其中e为自然对数的底数，若存在实数使得成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当两个不等式同时取等号时，等号成立. 若存在实数使得成立，则， 即.故选：D 7．（2021·山东烟台市·高三）若函数的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：当时，易得的零点为， 当时，， ∵当时，，∴的图象在上关于直线对称. 又， 当时，，故单调递增， 当时，，故单调递减，且，. 因为的所有零点之和为0，故在内有2个不同的零点， 且，解得. 故实数a的取值范围为．故选：A． 8．（2021·合肥一六八中学高三）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：设，则有四个不同的解， 因为，所以为偶函数，且当时，为增函数， 所以当时，为减函数，所以，即， 当时，， 则， 令，解得， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 又， 作出时的图象，如图所示： 所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为， 作出图象，如下图所示： 此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意. 综上实数m的取值范围为.故选：A 二、填空题 9．（2021·浙江嘉兴市·高三）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】： 【解析】：当时，令可得：， 当时，令可得：， 令， 若，， ，为减函数， 若，， ，， 若，，为减函数， 若，，为增函数， 画出的图像，如下图： 如要有4个零点，则，故答案为：. 10．（2021·河北唐山市·高三三模）关于x的不等式恰有一个解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】：. 【解析】：设函数， 若时，当时，，此时不等式，有无穷多个整数解，不符合题意； 若时，无解，不符合题意； 若时，可得，则必有， 解得，所以， 当时，可得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 当时，；当时，， 即当时，恰好有一个整数解，即为，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 三、解答题 11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）