第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题01 基本不等式的常见用法- 2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题04 基本不等式的常见用法 从近几年高考看，基本不等式在各类题型中均有出现，主要应用在求最值及证明不等式方面，因为基本不等式在解题中具有技巧性强，解题效率高的特点。常成为学生想要掌握，但又难以灵活应用的一个“痛点”。本节将对基本不等式的基本用法做一归纳，期望大家通过练习、感悟，能打通自己思维的“堵点”，提升对基本不等式的应用能力． 【题型导图】 类型一 运用基本不等式求最值 例1. (2021·江苏宿迁高一月考)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝(　　) A．9　　　　　　　B．7 C．5 D．3 【答案】B 【解析】因为x>－1，所以x＋1>0， 所以y＝x－4＋－5＝1， －5≥2＝x＋1＋ 当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号， 所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7. 【变式1】已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．　 【答案】 【解析】x(4－3x)＝， ＝··(3x)(4－3x)≤ 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． 【变式2】(2021·山东菏泽三中高一月考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】≥5＋4＝9. ＝5＋2·＝＝ 当且仅当a＝b＝时，取等号． 【变式3】 (2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________． 【答案】 【解析】　方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝， ＝≥2＋，则x2＋y2＝－ 当且仅当. 时取等号，则x2＋y2的最小值是，即y2＝＝ 方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤， (x2＋y2)2，则x2＋y2≥＝ 当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝2，即x2＝. 时取等号，则x2＋y2的最小值是，y2＝ 【痛点直击】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的关键点：拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. 3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 类型二 利用基本不等式求参数 例2.（2021·北京大兴区高一期中）若对任意的都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以， 故选：A 【变式1】（2021·广东深圳高级中学高一月考）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以恒成立，只需 因为， 所以， 当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D 【变式2】（2021·湖南师大附中高一期末）已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】因为，恒成立，即 所以，即， 又，所以 所以，所以， 所以正实数的最小值为2．故选：A． 【变式3】（2021·福建福州三中高一月考）当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立化为恒成立， 因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以，所以的最大值为.故选：C 【痛点直击】基本不等式求参数问题，先利用基本不等式求出最值，然后分离参数，即可得出参数的范围. 类型三 基本不等式在生活中的运用 例3.（2021·广东东莞高级中学高一期中）2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为（ ） A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元 【答案】B 【解析】设实验室总造价为元，实验室地面的长为，则宽为， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. 故当实验室地面的长为，宽为时，实验室总造价取得最小值228