第一章 集合与常用逻辑用语 专题02 集合中的参数问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 专题02 集合中的参数问题 集合中的含参问题是一种较难的问题，也是学生容易出错的题型。其要点在于学生不能正确判断端点值能否取到，忘记考虑空集这一情况。高考关于集合中的含参问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中． 从近几年高考命题看，考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是分类讨论这种思想的理解和应用． 【题型导图】 类型一 元素与集合的关系中的含参问题 例1：（2021·福建福州三中高一期中）已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，求x的值． 【思路解析】由已知2是集合M的元素，分类讨论列出方程，求出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素需满足互异性． 【解析】当3x2+3x﹣4＝2时，3x2+3x﹣6＝0，x2+x﹣2＝0， x＝﹣2或x＝1．经检验，x＝﹣2，x＝1均不合题意． 当x2+x﹣4＝2时，x2+x﹣6＝0，x＝﹣3或2． 经检验，x＝﹣3或x＝2均合题意． ∴x＝﹣3或x＝2． 【变式1】（2021·河北沧州市高一期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾；若，则，矛盾，故，解得（舍）或， 故，元素之和为，故选：C. 【变式2】设集合A＝{2，3，a2+2a﹣3}，集合B＝{|a+3|，2 }，已知5∈A，且5∉B．求a 的值． 【详解】由于5∈A，且A＝{2，3，a2+2a﹣3}， ∴a2+2a﹣3＝5，即a2+2a﹣8＝0解得a＝2或﹣4， 又当a＝2时，B＝{5，2}不符合条件5∉B，所以a＝2不符合题意； 当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，所以a＝﹣4为所求． 故答案为a＝﹣4． 【变式3】已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3） ∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围． 【详解】将点（2，3）代入A 中的不等式得到： 4﹣3+m＞0，解得：m＞﹣1； 因为点（2，3）不在B中， 所以将点（2，3）代入B 中的不等式得到： 2+3﹣n≤0不成立， 即2+3﹣n＞0，解得：n＜5． 【痛点直击】1. 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解 2．要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 类型二 集合中元素个数的含参问题 例2.（2021·天津南开区四十三中高一月考）集合 ，若集合 中只有一个元素，则由实数 的值组成的集合为________. 【答案】 【分析】分 和 两种情况，分别讨论集合 ，进而可求出答案. 【详解】当 时，方程 可化为 ，解得 ，满足题意； 当 时，要使集合 中只有一个元素， 则方程 有两个相等的实数根， 所以 ，解得 ，此时集合 ，满足题意. 综上所述， 或 ，即实数 的值组成的集合为 .故答案为： . 【变式1】若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，则a= ，b= ． 【答案】 ； 【详解】∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a， ∴a2+a2+b＝a且△＝（a﹣1）2﹣4b＝0 解得a＝ ，b＝ ． 故a、b的值分别为 ， . 【变式2】（2021·上海市莘庄中学高一期中）已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______． 【答案】或 【分析】推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合． 【详解】集合中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素， 的解为或无解， 或 ，解得． 实数a的取值集合为或． 故答案为或． 【变式3】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【分析】（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案． （2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值． （3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案． 【详解】（1）若A是空集， 则方程ax2﹣3x+2＝0无解 此时△＝9﹣8a＜0，即a＞ （2）若A中只