第一章 集合与常用逻辑用语 专题01集合元素特性的应用-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 专题01 集合元素特性的应用 从近几年高考试题可以看出，集合元素特性的考查主要以基础题的形式出现，重点考查元素与集合、集合相等以及集合元素个数的问题，因此，在教学中要控制题目的难度和深度，不要对这部分知识点进行深度的挖掘. 【题型导图】 类型一 元素与集合间的关系 例1：（2021·河北沧州市高一期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾；若，则，矛盾，故，解得（舍）或， 故，元素之和为，故选：C. 【变式1】已知集合 ，若 ，则 的值为______． 【答案】1 【解析】（1）若 ，即 ，则 ， ，不满足集合中元素的互异性； （2）若 ，则 或 ，当 时，则 ， ，不满足集合中元素的互异性；当 时，则 ， ，满足题意； （3）若 ，则 或 ，由①②，可知均不满足集合中元素的互异性． 综上，知实数 的值为0，故 的值为1．故答案为：1. 【变式2】（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为_____． 【答案】－2 【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项. 【详解】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以； 若，则或（舍去），此时，符合题意；若，则，而， 不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为. 【变式3】（2021·遵义航天高级中学高一月考）设集合，，已知且,则实数的取值集合为_____． 【答案】 【分析】由或解出的值，再验证集合中元素的互异性. 【详解】当时，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 【痛点直击】1.根据所给元素与集合中的元素是否相等为分类标准，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验． 2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 类型二 集合相等 例2：已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ）． A. B.1 C. D.2 【答案】B 【解析】 , EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,即 , 当 时, 或 , 当 时,即得集合 ,不符合元素的互异性,故舍去, 当 时, ,即得集合 ,不符合元素的互异性,故舍去, 综上, , EMBED Equation.DSMT4 ，故选：B 【变式1】（2021·齐齐哈尔市第八中学校高一月考）设集合，若，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】C 【分析】根据元素的确定性可得或，再利用元素的互异性可确定，，从而可得正确的选项. 【详解】由，得或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，则或，由上知不合适，故，， 则.故选：C. 【变式2】已知集合 ， ，且 ，则 ______， ______， ______． 【答案】1; ; 2 【解析】∵ , , , 又 EMBED Equation.DSMT4 ∴ , , ,∴ , 【变式3】（2021·江西九江一中高一月考）已知 ，则不等式 的解为____. 【答案】 【解析】 若 ，则 无意义，故有 ,此时有 ， . 或 （舍去，因为 中不满足集合的互异性） 代入 得 ，方程的解集为 【痛点直击】集合相等求参数的取值需要注意的问题： （1） 集合相等是指集合中的元素完全相同； （2） 特殊元素的处理：例如“0”的分析，如果一个集合中有0，根据另一个集合中的元素一般可以先确定一个字母的取值，然后再由集合元素的互异性得出其它参数的取值. 类型三 集合元素个数问题 例3：设集合 ， ， ，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意知 ， ，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B. 【变式1】（2021·肇东市第四中高一月考）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则A中元素的个数是（ ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据题意表示出，再判断集合中元素的个数即可. 【详解】解：由题意：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 所以，有8个元素，故选：C. 【变式2】（2021·福建莆田一中高一单元测试）设数集同时满足条件 ①中不含元素，②若，则. 则下列结论正确的是 A．集合中至多有2个元素