课时2.2 （考点讲解）基本不等式-2021-2022学年高一数学新课学习讲与练精品资源（人教版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 课时2.2 基本不等式 01考点梳理 知识点一 基本不等式 (1)基本不等式 如果a，b都是非负数，那么___，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的_____________，称为a，b的___________． (2)基本不等式的文字叙述 两个非负数算术平均数_______它们的几何平均数． (3)意义 ①几何意义：半径________半弦． ②数列意义：两个正数的______中项不小于它们的______中项． 知识点二 基本不等式的证明 一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当______时，等号成立．特别地，如果a>0，b>0，我们用____，____分别代替a，b可得a＋b≥______，通常把上式写作≤(a>0，b>0)． 知识点三 两个常用命题 x、y都为正数时，下面的命题成立． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________； (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________． 知识点四 基本不等式的变形公式 (1)ab≤；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)()2≥－1(b≠0)；(4)ab≤()2；(5)a＋≥2(a∈R＋)． 知识点五 不等式≥ab和≥的区别与联系 (1)≥ab与≥成立的条件不同．前者中的a、b为___________，后者中的a、b只能取___________． (2)两个不等式都是____________时取到等号，在求最值时经常用到这一点． 02考点解读 题型一 由基本不等式比较大小 1．设，其中，是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）. A． B． C． D． 题型二 由基本不等式证明不等关系 2．若，，，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 题型三 基本不等式求积的最大值 3．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（ ）（单位：cm2）. A．8 B．10 C．16 D．20 题型四 基本不等式求和的最小值 4．已知ab＞0，则的最小值为_____. 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值问题 5．（1）若，且，求的最小值； （2）若，求的最大值． 题型六 条件等式求最值 6．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______． 题型七 基本不等式的恒成立问题 7．已知，为正实数，且，若对于满足条件的、恒成立，则的取值范围为.（ ） A． B． C． D． 题型八 对勾函数求最值 8．设，均为负数，且，那么有（ ）. A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 题型九 基本不等式的应用 9．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接．作交于．由可以证明的不等式为　　 A． B． C． D． 03题组训练 1．已知、，求证：. 2．已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 3．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 5．已知、、都是正数，求证：. 6．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 课时2.2 基本不等式 01考点梳理 知识点一 基本不等式 (1)基本不等式 如果a，b都是非负数，那么___，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的_____________，称为a，b的___________． (2)基本不等式的文字叙述 两个非负数算术平均数_______它们的几何平均数． (3)意义 ①几何意义：半径________半弦． ②数列意义：两个正数的______中项不小于它们的______中项． 知识点二 基本不等式的证明 一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当______时，等号成立．特别地，如果a>0，b>0，我们用____，____分别代替a，b可得a＋b≥______，