第一章 空间向量与立体几何 单元检测（B卷）- 2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 第一章 空间向量与立体几何 单元检测（B卷） 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在直三棱柱中，已知，为侧棱上任意一点，为棱上任意一点，与所成角为，与平面所成的角为，则与的大小关系为（ ）. A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】建立如图所示空间直角坐标系： 设， 则， 所以 所以， 又，， 所以， 所以， 因为 在上递减， 所以， 故选：C 2．如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上， 连接， ，则四边形是平行四边形， ，平面， 同理可证平面， 平面平面，则平面即为，点在线段上， 以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则，，，设，， ，， ，，， 设与BD所成角为， 则 ， 当时，取得最小值为0， 当或1时，取得最大值为， ，则. 故选：C. 3．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点设点的坐标为，由题意可得 ， ， 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为； 当或1，且或1时，取得最大值为0， 则的取值范围是 故选D． 4．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、，设点， ，， ，，得， 由，得，得， ， ，当时，取得最大值. 故选：D. 5．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在四面体中,是的中点,是的中点 故选:C. 6．三棱锥中，，分别是，的中点，且，，，用，，表示，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，，，， ， ， 故选：． 7．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且， 则 ，，，，，， 则 故选：B. 8．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】设且， 则，， 则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面. 对于A选项，，，、、、四点不共面； 对于B选项，，，、、、四点共面； 对于C选项，，，、、、四点不共面. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则 而 ， 所以A正确. =0,所以B正确. 向量, 显然 为等边三角形，则. 所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确 又， 则， 所以，所以D不正确. 故选：AB 10．正三棱柱中，，则（ ） A．与底面的成角的正弦值为 B．与底面的成角的正弦值为 C．与侧面的成角的正弦值为 D．与侧面的成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直， 则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系； 设，则. . ．底面的其中一个法向量为， 与底面的成角的正弦值为，错对． 的中点的坐标为, ∴侧面的其中一个法向量为， 与侧面的成角的正弦值为：， 故对错； 故选：BC． 11．将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；② 是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABD 【解析】解：取中点，由正方形的性质得：， 所以为二面角的平面角， 因为二面角是直二面角， 所以如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz， 设正方形的边长为， 则 所以，，，，， 因为=0，故，①正确. 又，，， 所以为等边三角形，②正确. 对于③，为平面的一个法向量， . 因为直线与平面所成的角的取值范围是， 所以