第一章 空间向量与立体几何 单元检测（A卷）-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 第一章 空间向量与立体几何 单元检测（A卷） 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C 2．对于空间任意两个非零向量 是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】显然， 包括向量同向共线和反向共线两种情形 故选：B 3．如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上， ，平面的法向量为， 二面角的大小为θ， 故选：C． 4．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可以推出，反之不一定成立，例：、，则， 故①不正确； 当时，，故②不正确； 当时，，即，反之也成立，故③正确. 所以正确命题的个数为：1. 故选：B. 5．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 6．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四面体中，，分别是，的中点， 故选：A． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1， 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0）， 设平面ABB1A1的法向量， 则，取x＝1，得， 设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ， 则, 所以 ∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为． 故选：A． 8．在平行六面体中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由空间向量的线性运算，得， 由题可知，， 则，所以， . 故选：A. 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】解：设正方体的棱长为2，则，， ∴， 设向量是平面的法向量， 则取，得， 则是平面的一个法向量， 结合其他选项，检验可知只有B选项是平面的法向量， 故选：ACD． 10．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为上的点，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如图，设，则是空间的一个正交基底， 则，取的中点H，则， ， ， ， ∴，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确. 故选:ABD. 11．在以下命题中，不正确的命题有（ ） A．是、共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】ABC 【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立； 必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立， 所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误； 对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误； 对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、， 若、、、四点共面，可设，其中、， 则，可得， 由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误； 对于D选项，假设、、共面， 可设， 由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解， 假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确. 故选：ABC. 12．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ） A．平面 B．与平