2.2 充分条件、必要条件、充要条件-2021-2022学年高一数学教材同步精品学案（苏教版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 目标导航 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题． 4.理解充要条件的意义. 5.会判断一些简单的充要条件问题. 6.能对充要条件进行证明． 知识解读 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p q p q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【答案】⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要 知识点二　充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件． 【答案】p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 跟踪训练 1．设a∈R，则“a > 0"是“a2 > 0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】 解：当 时， ， 当 时， 或 ， 所以“a > 0"是“a2 > 0”的充分不必要条件， 故选：A 2．若 ： ， ： ，则 是 成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】 由 不能推出 ，例如 ， 但 必有 ， 所以 ： 是 ： ，的必要不充分条件. 故选：B. 3．设 为全集，则“ ”是“ ”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据两集合之间关系，由补集的性质，以及充分条件和必要条件的概念，可直接得出结果. 【详解】 因为 为全集，若 ，则 ；若 ，则 ； 所以“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C. 【点睛】 结论点睛： 判定命题的充分条件和必要条件时，一般可根据如下规则判断： （1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集； （3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等； （4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含． 4．“ ”是“实系数一元二次方程 没有实根”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 求出实系数一元二次方程 没有实根对应的 的范围，根据集合包含关系即可判断. 【详解】 实系数一元二次方程 没有实根，则 ，解得 ，  ， “ ”是“实系数一元二次方程 没有实根”的必要不充分条件. 故选：A. 【点睛】 结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等； （4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对应的集合与 对应集合互不包含． 5．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据“A∩B＝A∩C”与“B＝C”的关系，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C， 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. 所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件． 故选：B. 【点睛】 本题考查必要不充分条件的判定，以及集合间的关系，属于基础题. 6．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 分别求出 和 的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】 由 ，解得 ， 由 ，解得 或 ， “ ”成立，则“ 或 ”成立， 而“ 或 ”成立，“ 不一定成立， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】