微专题09 指数函数-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题9：指数函数 1．（2020年天津市高考数学试卷）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【解】因为，，， 所以.故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 2．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数，则不等式的解集是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 1．根式 (1)如果，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3) . 当n为奇数时，， 当n为偶数时，. 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，． 正数的负分数指数幂，． 0的正分数指数幂为0 0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 ；；． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【注意】 1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1. 题型1：指数幂的运算 【解题技巧】 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． 【例1】（多选题）下列化简结果中正确的有（字母均为正数）（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用指数的运算性质可判断ABC选项的正误，利用特殊值法可判断D选项的正误. 【解析】由指数幂的运算性质可得，，，AB选项正确，C选项错误， 取，，则，D选项错误. 故选：AB. 【变式1-1】化简下列各式： （1）； （2）； （3） . 【答案】（1）（2）（3）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果； （2）根据指数幂的运算性质可得结果； （3）根据指数幂的运算性质可得结果. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 【变式1-2】化简与计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数的运算性质化简可得结果；（2）利用指数的运算性质化简可得结果. 【解析】（1）； （2） . 【例2】若，，则的值是________． 【答案】 【分析】化简可得，，带入即可得解. 【解析】由， 同理， 可得：. 故答案为：. 【例3】化简： 【解析】原式 【例4】已知函数，则_____________. 【答案】505 【分析】利用配对计算． 【解析】，∴， 故. 故答案为：505． 【例5】计算（1） （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． 【解析】（1） ； （2） 题型2：指数函数的图象与性质 与指数函数有关问题的解题思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． (3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 【例6】函数的