微专题07 函数的奇偶性-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题7：函数的奇偶性 【知识精讲】 1、 函数奇偶性的基本概念 1.偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，，那么函数就叫做偶函数。 2. 奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任一个，都有，， 那么函数就叫做奇函数。 二、函数奇偶性的判断方法 （1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 之一是否成立。 （2）在判断与的关系时，只需验证及=是否成立即可来确定函数的奇偶性。 三、常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数，即； (6)当两个函数的定义域相同时，两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 推广：在相同定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. (7)复合函数的奇偶性 若f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，则为偶函数，为偶函数. 无论f(x)为奇函数还是偶函数，只要g(x)是偶函数，则为偶函数. (8)掌握一些重要类型的奇偶函数： (1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数． (2)函数f(x)＝＝(a>0且a≠1)为奇函数． (3)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)为奇函数． (4)函数f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)为奇函数． 【典型例题】 题型一函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)由f(x)＝，可知得 故f(x)的定义域为(－6,0)∪(0,6]，不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数． (2)由⇒x2＝4⇒x＝±2.故f(x)的定义域为{－2,2}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)．所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)由⇒－1<x<0或0<x<1，定义域关于原点对称． 此时f(x)＝＝＝－， 故f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (4)方法一(图象法)：画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数． 方法二(定义法)：易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x) 当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)．故f(x)是偶函数． 方法三：f(x)可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数． 【变式1-1】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 (　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数 C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C　 【解析】依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)·|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错． 【变式1-2】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不