专题16 利用导数研究方程与不等式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题16利用导数研究方程与不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题。 二、教学建议 利用导数研究函数的零点(方程根)的问题，是高考的重点，常出现在解答题的某一问中，难度偏大，主要命题角度有：(1)利用最值(极值)判断零点个数；(2)构造函数法研究零点问题． 利用导数研究不等式问题是高考中的常考点，主要出现在解答题中，难度较大，主要命题角度有：(1)证明函数不等式；(2)不等式恒成立问题；（3）解不等式；（4）比较大小 三、自主梳理 1．与函数零点有关的参数范围问题 （1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）求极值的步骤： ①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）； ②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点. （3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. （4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标. 2．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 3．利用导数证明、解不等式问题 无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝. 四、高频考点+重点题型 考点一、函数零点个数的判断与证明 例1-1（利用零点存在性定理与单调性证明（判断）判断零点） （2020·浙江省高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．证明：函数在上有唯一零点； 【解析】在上单调递增， ， 所以由零点存在定理得在上有唯一零点； 对点训练1.（2020届山东省菏泽一中高三）已知函数,为的导函数.求证:在上存在唯一零点; 【解析】设， 当时，，所以在上单调递减， 又因为， 所以在上有唯一的零点，所以命题得证． 对点训练2.（2019·全国高考真题（理））已知函数.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； 【解析】函数的定义域为， ，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数； 当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点； 当时，， 因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点 综上所述，函数的定义域内有2个零点； 对点训练3.设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数． 【解】令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0， 问题等价于求函数F(x)的零点个数，F′(x)＝－， 当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数， 注意到F(1)＝＞0，F(4)＝－ln 4＜0，所以F(x)有唯一零点； 当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时F′(x)＜0，1＜x＜m时F′(x)＞0， 所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增， 注意到F(1)＝m＋＞0，F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点， 综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象只有一个交点． 例1-2（借助方程转换构造新函数） （2021·河北省）函数在上的零点个数为 答案：2个 【解析】取=0， 得: ， 得: ， 得:， 得:,得:，得:-x=0, 得: 画出函数图像与x轴交点个数可得结果。 例1-3（区间扫描法判断（证明）函数零点） （2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数,为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点. 解析：①由(1)知：当时，，在上单调递增; 当时，，在上单调递减; 所以在上存在唯一的极大值点 所以 又因为 所以在上恰有一个零点． 又因为 所以在上也恰有一个零点． ②当时，， 设， 所以在上单调递减，所以 所以当时，恒成立 所以在上没有零点． ③当时， 设， 所以在上单调递减，所以 所以当时，恒成立 所以在上没有零点． 综上，有且仅有两个零点． 对点训练1.（2019·全国高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：有且仅有