第18讲 数学思想选讲（二）（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

SSR-Studio 第18讲 数学思想选讲（二） 数学思想 数学思想三：类比思想 【例1】（2020秋•天心区校级期中）★★★☆☆ 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求（1）（2）的值； （3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论． 【解答】解：（1）设的对称中心为点 设，则为奇函数，依题可知， 且， 故， 即， 即， ， ，解得， 函数的图像的对称中心为， （2）由（1）知函数的图像的对称中心为， ， （2），且（1）， （1）（2）； （3）推论：函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数， 或者函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数． 【例2】（2020秋•杨浦区校级期末）★★★★☆ 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间，上的增长函数，并说明理由； （2）已知函数，且是区间，上的增长函数，求正整数的最小值； （3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数，都是上的增长函数，判断是否一定为上的单调递增函数，并说明理由； ②如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【解答】 解：（1）是：因为，，； 不是，反例：当时，． （2）由题意得，对于，恒成立， 等价于，即对，恒成立， 因为，所以是关于的一次函数且单调递增，于是只需， 解得，所以满足题意的最小正整数为9． （3）①不是 构造，则对任意的正有理数， 若，则，因此； 若，则，因此． 因此是上的增函数，但不是增函数． ②根据题意，当时，， 则当时，，当时，，由奇函数的对称性可知： 当时，，当时，， 则可得函数图像如图： 易知图像与轴交点为，，，， 因此函数在，上是减函数，其余区间上是增函数， 是上的增长函数，则对任意的，都有， 易知当时，， 为保证，必有，即， 故且， 所以，解得， 故答案为． 【练习】（2019秋•浦东新区校级期末）★★★★☆ 设是定义在，上的函数，若存在使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点，