第17讲 双元恒成立与有解问题（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

SSR-Studio 第17讲 双元恒成立与有解问题 知识梳理与题型整理 在第7讲，我们已经学习了不等式的恒成立与有解问题，并提供了不同条件下的三种常用思路：分离参变量法，二次函数图像法，函数图像变换法. 在本讲中，我们将会遇到双元的恒成立与有解问题，但最常使用的依然是这三种思路. 主要考察一：不等式的恒成立与有解 双元不等式任意与存在命题的转化： （1）“任意任意”型： 对任意的，任意的，使得，则； （2）“任意存在”型： ①对任意的，存在，使得，则； ②对任意的，存在，使得，则； （3）“存在存在”型： 存在，存在，使得，则. 【例1】（2019上海实验中学期末）★★★☆☆ 已知两个函数，，其中为实数． （1）若对任意的，，都有成立，求的取值范围； （2）若对任意的，，，都有，求的取值范围； （3）若对任意的，，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解答】解：①当，时，， 当时，，当时，， ②当，时，， 所以当时，，当时，， （1）不等式可化为在，上恒成立， 只需，而， 当时，， 所以，故实数的取值范围为，； （2）由题意可得，要满足题意只需即可， 即，所以， 故实数的取值范围为； （3）由①②可得：当，时，函数的值域为，， 的值域为， 若对任意的，，总存在，使得成立， 只需，，即可， 即，解得， 故实数的取值范围为． 【例2】（2020交大附中期末）★★★☆☆ 已知函数为常数，且，对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有　　. A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】 【解答】 解：，. ， 从而有，，解得，，，2，3，4，5， 故选：． 【例3】（2019秋交大附中期末）★★★★★ 已知函数，，且． （1）若为整数，且，试确定一个满足条件的的值； （2）设的反函数为，若，试确定的取值范围； （3）若，此时的反函数为，令，若对一切实数，，，不等式恒成立，试确定实数的取值范围． 【答案】（1）或4；（2），，；（3），． 【解答】解：（1）由，，且，可得 ，即，可得整数或4； （2）由，，可得，即， 平方可得，即有， 可得（若，；若，， ，即为， 若，则单调递减，可得； 可得的取值范围为，，； （3）若，此时的反函数为， ， 当时，，符合题意； 当时，在递减，可得，， 对一切实数，，，不等式恒成立，