第13讲 函数的对称性与周期性（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

SSR-Studio 第13讲 函数的对称性与周期性 知识梳理与应用 主要考察一：函数的对称性 必要条件：具有对称性的函数，其定义域必然关于其对称轴或对称中心对称. 轴对称等价形式： 的图像关于直线对称 的图像关于直线对称 推广： 的图像关于直线对称； 中心对称等价形式： 的图像关于点对称 的图像关于点对称 推广：的图像关于点对称 进阶1：判断函数是否具有对称性/判断函数的对称轴/对称中心 （1）定义域法 定义域非 对应思路： 1. 定义域得横：求使得定义域对称的值，即为对称中心的横坐标； 2. 特值点得纵：若，对称中心纵坐标；若，取 且 ，则对称中心纵坐标； 3. 如需再检验：利用函数图像具有对称中心的等价形式进行检验. 特殊的，，其对称中心可直接记忆为. 【例1】（2020秋•杨浦区校级期中）★★☆☆☆ 函数的图像的对称中心是 　　 ． 【答案】 【解答】 定义域为，定义域关于对称中心对称， 故其对称中心横坐标必然为, 取关于-2对称的代入得 则对称中心的纵坐标为 用的图像关于点对称进行检验 故答案为 【例2】（2015秋•上海中学高一上期末改）★★★☆☆ 对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断下列函数具有对称中心的有 . （1）； （2）； 【答案】（1）（2） 【解答】 解： （1） ，定义域有空点， ，使得定义域对称的，中间的是， 故若存在对称中心，其横坐标必为， 特值法取， 得，即对称中心纵坐标为， 利用中心对称等价形式检验是否为的对称中心： ， 故的图像存在对称中心. （2） ，定义域为，故若存在对称中心，其横坐标必为2， 特值法取得，即对称中心纵坐标为0， 利用中心对称等价形式检验是否为的对称中心： ， 故的图像存在对称中心. 【练习】（编者精选）★★★☆☆ 函数图象的对称中心横坐标为3，则　 　 ． 【答案】 【解答】 ，定义域为，符合形式一 故其对称中心横坐标为 ，解得； 故答案为：． 【练习】（2018秋•嘉定区高一上期末）★★★☆☆ 已知函数具有对称中心为，则点的坐标为　　 ． 【答案】 【解答】 对于函数， ，故对称中心横坐标为2， 又当时，；当时，； ，可得它的对称中心为， 故答案为：． （2）图像平移法 若所求函数可看做奇/偶函数平移变换得到