第12讲 函数的单调性（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

SSR-Studio 第12讲 函数的单调性 知识梳理与应用 主要考察一：单调性的定义 1、函数单调性的定义： 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量， 当时总有，则称函数在区间是严格增函数，此时称区间为函数的严格增区间； 当时总有，则称函数在该区间是严格减函数，此时称区间为函数的严格减区间． 此外，如果总成立，就称函数在区间是增函数；二如果总成立，就称函数在区间是减函数. 上述性质统称为函数的单调性. 2、函数单调性的两种等价定义 对于区间上任意给定的两个自变量， （1）在上是增（减）函数； （2）在上是增（减）函数． 基础1：定义法证明单调性 【例1】（2021·上海市行知中学高一月考）★☆☆☆☆ 已知函数． （1）证明：函数在上严格增函数. 【详解】 （1）任取， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上严格增函数. 【练习】（2021·上海市西南位育中学高一期末）★★☆☆☆ 已知，判断函数的单调性并证明. 【答案】为上的增函数，证明见解析. 【详解】 ，函数为上的严格增函数，证明如下： 任取、，且， ， ，，，即， 因此，函数为上的增函数. 主要考察二：函数单调性的判断 基础1：函数运算判断单调性 两个函数在给定区间上都有意义，则 增+增=增； 增-减=增； 减+减=减； 减-增=减. 若函数的函数值恒为正数，则 1/增=减；1/减=增. 【例2】（2021·上海市大同中学高一期末）★☆☆☆☆ 判断函数的单调性并说明理由. 【答案】单调递增 【详解】 函数是严格增函数； 因为函数在上严格单调递增，函数在上严格单调递减，则由单调函数的运算性质可知，函数是严格增函数. 【例3】（2019·上海市进才中学高一月考）★★☆☆☆ 函数的最大值为______． 【答案】1 【详解】 由可得， ， 因为恒大于0，且在严格单调递增， 所以在严格单调递减， 所以时最大为， 故函数的最大值为， 故答案为： 【练习】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★☆☆☆ 函数的最大值为________. 【答案】 【详解】 函数的定义域为， 函数在上是增函数， 函数在上是减函数， 根据结论：增函数减函数增函数， 函数在上是增函数， 当时，函数有最大值， 故答案为： 基础2：复合函数的单调性 设在区间上，的值域为， 若在区间上的单调性和在区间上