第08讲 数学思想选讲（一）（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

第8讲 数学思想选讲（一） 数学思想 数学思想一：分类思想 【例1】（2020·嘉定区第一中学高一月考）★★★☆☆ 已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）4；（2）或. 【详解】， （1）因为，所以， 所以和是的两个实根， 所以，即. （2）因为，所以，所以或或或， 当时，无解，所以，即， 当时，有且只有一个实根，所以无解， 当时，有且只有一个实根，所以无解， 当时，有2个实根和，所以，即. 综上所述：实数的取值范围是或. 【例2】（2020·南洋模范中学高一月考）★★★☆☆ 关于x的方程的解为不大于2的实数，则m的取值范围________. 【答案】 【详解】 由可得： ， 若，不成立； ，解得，不成立； 若且时，则， 即，可化为， 解得或， 综上，m的取值范围为. 故答案为： 【例3】（2016·控江中学）★★★★☆ 设常数，函数，． （1）当时，求函数的值域． （2）若函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）；（2）. （1）时，， 令，，，，，即，， 则，，， ∵在，递增，且， ∴， 故的值域是. （2）函数，，， 令，，，，，即，， 故，，， 当时，在，递增， 的最小值是， 解得：，符合题意； 当时，在，递减，在，递增， 故的最小值是， 解得：，不合题意； 当时，在，递减， 的最小值是， 解得：，不合题意； 综上所述：． 【例4】（2020·新场中学高一月考）★★★★☆ 设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个. 【详解】 解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则； 若集合中有两个元素，则符合条件； 若集合中有三个元素，则符合条件. （2）存在，一共有四个： 或或或. （3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个， 当集合中元素的个数为偶数时： 含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个； 含有个元素时，则