第07讲 不等式的恒成立与有解（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

第7讲 不等式的恒成立与有解 题型与方法梳理 在整个高中，有一类常考的综合题型，即为不等式的恒成立（或有解）问题，其常见形式为： （1）对任意的恒成立或有解，求其中参数的取值范围； （2）对任意的 恒成立或有解，求其中参数的取值范围； 恒成立的等价形式还有：对任意的不等式都成立、不等式解集为等； 有解的等价形式还有：存在使得不等式成立、不等式能成立、不等式的解集不为空等. 【示例】（2017·上海格致中学高一月考）★★★☆☆ 已知关于不等式.若存在，该不等式能成立，求实数的取值范围. 方法一：分离参变量 时，能成立，即有解； ，所以，所以有解，即； 令，则且， 则， 又在时严格递减，所以， 所以的最大值为， 所以的取值范围是. 方法二：二次函数的图像 当，该不等式能成立，即在有解， 设，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线. ①当时，则有，即， 解得或，不合乎题意； ②当时，二次函数在区间上单调递增， 则，解得，此时，； ③当时，二次函数在区间上单调递减，由于， 此时，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围为. 方法三：函数图像变换法 时，能成立，即有解， 令，，， 则原题可转化为同一直角坐标系内，存在，的图像在的图像上方. 的图像是一条过定点的线段（不含端点），斜率为， 变化时，的斜率发生变化. 根据图像的变化可知，应使得，即符合题意. 上面用得到的三种办法，也是解决不等式恒成立与有解问题的常用办法，可以根据不同的题目灵活使用. 方法1：分离参变量<分离转化求最值> 使用场景：若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立（或有解）问题转化成函数（或表达式）的最值问题求解. 转化为求最值问题后，当前常见的求最值方法，有二次函数的区间最值、应用基本不等式（平均值不等式、三角不等式）、应用函数的单调性求最值等. 求解步骤： （1） 分离：将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2） 转化：（或）恒成立转化为（或）； （或）恒成立转化为（或）； （3）求最值：根据第2步的转化，求在上的最大（或最小）值； （4） 如需要，解不等式 (或) ，得的取值范围. 【例1】（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）★★★★☆ 已知不等式，若对于任意，该不等式恒成