第04讲 基本不等式（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

第4讲 基本不等式 知识梳理与应用 主要考察一：三角不等式的应用 对任意实数、有，当且仅当时等号成立. 基础：应用三角不等式求最值 【例1】（2020·上海高三专题练习）★★☆☆☆ 对于实数，，若，，则的最大值为( ). A．5 B．4 C．8 D．7 【答案】A 【解析】 由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)| ≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5, 即|x-2y+1|的最大值为5. 进阶：应用三角不等式解决不等式恒成立（或有解）问题 【例2】（2020·上海市南洋模范中学高一月考）★★★☆☆ 为实数，且有解，则的取值范围是( ). A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 有解，只需大于的最小值，，所以，有解． 故选C． 【例3】（2020·上海市新场中学高一期中）★★★☆☆ 对，若恒成立，则的取值范围是_______________. 【答案】 【详解】 因为恒成立，所以， 因为，所以. 故答案为： 【练习】1、（2021·上海杨浦区高一期末）★★☆☆☆ 函数的最小值等于__________． 【答案】4 【详解】 因为, 当时，取等号， 所以的最小值为4 故答案为：4 【练习】2、（2018·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆ 已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】 因为， 又关于的不等式有解，所以 故答案为 【练习】3、（2021·上海中学高一）★★★☆☆ 不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】或 【详解】 因为，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以最小值是，要想不等式对一切实数x恒成立， 只需，解得或. 主要考察二：应用平均值不等式求最值 平均值不等式：对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立. 常用不等式： 对于任意，有，当且仅当时等号成立. 基础：直接型 【例4】（2021·上海市川沙中学高一期末）★☆☆☆☆ 已知，则的最小值为_______________. 【答案】2 【详解】 ，， 当且仅当时，取“”， 以的最小值为2， 进阶1：凑配型 【例5】（2017·上海市宝山中学高一期中）★★☆☆☆ 已知，则的最小值是_________. 【答案】5. 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：. 【例