第03讲 二次函数（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）

第3讲 二次函数的区间最值 知识梳理与应用 主要考察：二次函数的区间最值 一元二次函数在给定区间上的值域（以为例）： 设， 1．当时，的值域为； 2. 当时, ，； 此时根据二次函数的轴对称性，两个区间端点，距离对称轴较远的那一个端点函数值更大，即： （1）当时，； （2）当时，； 3. 当时，的值域为. 基本思路： · 判断二次函数的对称轴与给定区间的位置关系； · 判断二次函数在给定区间上的单调性； · 确定二次函数在给定区间的最值； 基础类型：不含参二次函数的区间最值 【例1】（2021·上海市延安中学高一期末）★★☆☆☆ 函数在区间上的值域为____________. 【答案】 【详解】函数的对称轴为，所以可知函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数最小值为，又因为时，；时，，所以函数最大值为，所以值域为. 故答案为：. 【练习】（2020·上海高一专题练习）★★☆☆☆ 求函数的值域______________． 【答案】 【详解】由题意，知：且， ∴，所以函数值域为. 进阶类型一：含参情况下二次函数的的区间最值 当含有参数的时候，二次函数的对称轴与区间的位置关系无法确定，此时需要分类讨论对称轴与区间的位置关系： （1）轴动区间定 【例2】（2017·上海市七宝中学高一期中）★★★☆☆ 设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为，集合. （1）若，且，求； （2）若，且，记，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【详解】 （1）， ，，有两根为1，2． 由韦达定理得 （2）若，方程有两相等实根， 根据韦达定理得到，，所以，， ，， 其对称轴方程为 ， 则（） 又（）在区间，上为单调递增的， 当时，（） （2）轴定区间动 【例3】（2017·上海曹杨二中）★★★☆☆ 设，函数的最小值为. （1）求的解析式 （2）画出函数的大致图形 （3）求函数的最值 【答案】（1）；（2）作图见详解； （3）最小值为，无最大值 【详解】 （1）由于函数对称轴为， 当时，函数在闭区间上单调递增， 故函数的最小值为； 当，即时，故函数的最小值； 当，即时，函数在闭区间上单调递减， 故函数的最小值为； 综上所述，， （2）作出的图像，如图所示： （3）由（2）的图像，函数的最小值为，无最大值. 综上所述，函数的最小值为，无最大值. （3）已知区间最值求参数 【例4