专题07 等腰三角形（知识点串讲）-2021-2022学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题07 等腰三角形 知识网络 重难突破 一、等腰三角形的性质 1. 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2. 等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 典例1．（2021·陕西西安市第三中学八年级期末）若 ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ） A．7 B．12 C．9 D．9或12 典例2．12．（2021·浙江）已知等腰 的一个内角为 ，则 的度数为________． 典例3．（2021·甘肃白银市·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为_____°． 典例4．（2021·上海七年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为_________． 二. 等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定： ①从边入手，证明两边相等； ②从角入手，证明一个三角形的两个角相等. 2. 垂直平分线会产生等腰三角形. 3. 构造等腰三角形常用的方法： 典例1.（2021·陕西八年级期末）如图，在 中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN BC交AB于M，交AC于N，求证： 为等腰三角形． 典例2．（2021·青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟）如图，直角坐标系中，点 、 ，点P在x轴上，且 是等腰三角形，则满足条件的点P共______个． 典例3．如图，在 中， 为 的平分线，如图，若 ，求线段 的长度． 三、等边三角形的性质 1. 三边都相等的三角形叫等边三角形. 2. 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 注意：①每条边上的中线、高线、所对角的角平分线互相重合（三线合一） ②等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴，三线合一所在的直线即为等边三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点． 3. 常见有关等边三角形的旋转题图形 典例1．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG＝_____°． 典例2．（2021·四川成都市·七年级期末）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN＝BM；②EF∥AB；③CE＝EF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是 _______．（填所有正确结论的序号） 四. 等边三角形的判定 等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 典例1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A．有两个内角是 的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．三边都相等的三角形 D．有一个角是 且是轴对称图形的三角形 典例2．（2021·安徽八年级期末）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ， ，连接 ． （1）求证： 是等边三角形； （2）当 时，试判断 的形状，并说明理由： （3）探究：当 为多少度时， ？ 五. 含30°的直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　 典例1．（2021·宁夏八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 一、单选题 1．（2021·辽宁沈阳市·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．142° B．132° C．119° D．109° 2．（2021·广东八年级期中）一个等腰三角形的两边长分别是5和7，则它的周长为（ ） A．17 B．15 C．19 D．19或17 3．（2021·陕西九年级一模）如图， 中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ） A．4 B．3 C．5 D．6 4．（2021·山东八年级期末）如图，在 中， // ， 和 的平分线分别交 于点 、 ，若 ， ，则 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．9 5．（2021·山东淄博市·七年级期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂