第05讲 函数的应用（二）（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第05讲 函数的应用(二) 【学习目标】 1、理解函数零点的定义，掌握函数零点的判定方法，了解函数的零点与方程的根的联系． 2、能用二分法求出方程的近似解，了解二分法求方程近似解． 3、会利用已知函数模型解决实际问题，能建立函数模型解决实际问题． 【知识结构】 【考点总结】 一、函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1． 函数的零点不是点　 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零． 例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点． 二、基本初等函数的零点 函数 零点(或零点个数) 正比例函数y＝kx(k≠0) 一个零点0 反比例函数(k≠0)无零点 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 一个零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)Δ＞0 两个零点Δ＝0 一个零点－ Δ＜0 无零点 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 无零点 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1) 一个零点1 幂函数y＝xα α＞0 一个零点0 α≤0 无零点 三、函数的零点与对应方程的关系 (1)方程f(x)＝0有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点． (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象联系密切，下面以a＞0为例列表说明． Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的图象 图象与 x轴交点 (x1,0)，(x2,0) (x0,0) 无交点 方程f(x) ＝0的根 x＝x1，x＝x2 x＝x0 无实数根 函数y＝ f(x)的零点 x1，x2 x0 无零点 因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系． 四、判断(或求)函数的零点 (1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根． 例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝1－log3x． 解：(1)令＝0，解得x＝－3． 故函数f(x)＝的零点是－3； (2)令1－log3x＝0，即log3x＝1，解得x＝3． 故函数f(x)＝1－log3x的零点是3． (2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数． 五、判断零点所在的区间 零点存在性定理　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点： (1) 当函数y＝f(x)同时满足： ①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线； ②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个． (2)当函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点． 例如函数f(x)＝x2在区间[－1,1]上有f(－1)·f(1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0． (3)函数在区间[a，b]上的图象是连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若满足f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点． 七、一元二次方程的根的分布 (1)