第04讲 对数函数（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第04讲 对数函数 【学习目标】 1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图象和性质． 【知识结构】 【考点总结】 一、对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 二、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 (1)图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性[来源:质[来源:学科网:Zxxk.Com] (1)定义域{x|x＞0}(2)值域{y|yR} (3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) (4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 (5)在(0，＋∞)上是增函数 (5)在(0，＋∞)上是减函数 对对数函数图象与性质的理解　 对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数． a＞1时，函数单调递增； 0＜a＜1时，函数单调递减． 理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 解析式 y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1) 性 质 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 过定点 (0,1) (1,0) 单调性 单调性一致，同为增函数或减函数 奇偶性 奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”： 当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． ②底数的大小决定了图象相对位置的高低： 不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 三、利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值 对数函数的解析式y＝logax(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值． 利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝kn(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简． 例如：解方程loga4＝－2，则a－2＝4，由于，所以．又a＞0，所以．当然，也可以直接写出，再利用指数幂的运算性质，得． 四、对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； ⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 五、对数型函数的值域的求解 (1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法． (2)对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． (3)对于函数y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用换元法，设logax＝t，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域． 注意： (1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论． (2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围． 六、对数函数的图象变换及定点问题 (1)与对数函数有关的函数图象过定点问题 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图