2.2　基本不等式及其应用限时作业-【师说提分宝典】2022年高考数学复习（新教材新高考）

新教材新高考高三一轮复习最新导学案限时作业 2.2　基本不等式及其应用 (限时:50分钟,分数:100分) 一、复习巩固(每题5分,共60分) 1．函数f(x)＝的最小值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B. 2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1 答案　C 解析　∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y 时取等号． 故“x＝2且y＝1 ”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A. B．3 C．5 D．9 答案　D 解析　由题意知，正数a，b满足a＋b＝1， 则＋＝(a＋b)＝4＋1＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为9，故选D. 4．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C. 5．已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是(　　) A．4 B．2 C．2 D. 答案　D 解析　由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝ ，故选D. 6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 答案　D 解析　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝， 则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝， 再根据题图知FO≤FC，即≤ ，当且仅当a＝b时取等号．故选D. 7．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________． 答案　6 解析　由xy＋x－y－10＝0，得x＝＝＋1， ∴x＋y＝＋1＋y≥2＝6，当且仅当＝1＋y，即y＝2时，等号成立． 8．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________． 答案　4 解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， ∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，∴＝q2＝3.∴4a3＋＝4a3＋＝4a3＋≥2＝4，当且仅当4a3＝，即a3＝时等号成立．∴4a3＋的最小值为4. 9．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________． 答案　 解析　由题意得b2＋c2－a2＝bc，∴2bccos A＝bc，∴cos A＝，∴A＝. ∵△ABC的面积为，∴bcsin A＝，∴bc＝3. ∵a2＝b2＋c2－bc，∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(当且仅当b＝c时，等号成立)，∴a≥. 10．已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________． 答案　2 解析　由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab， 两边同除以(ab)2得2＝＋＝4≥4·2＝8， 当且仅当ab＝1时取等号．所以＋≥2，即＋的最小值为2. 11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求＋的最小值． 解　(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有解得此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥ ＝，当且仅当＝时，等号成立． 由解得∴＋的最小值为. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚