1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课件-2021-2022学年吉林省白山市抚松县第一中学高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
2021-08-09
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特供
内容正文：
熟练掌握用向量方法求点面距离、线面距离、面面距离以及异面直线间的距离。
一、点到平面的距离：
其中 为斜向量，
为法向量。
l
二、直线到平面的距离：
其中 为斜向量，
为法向量。
三、平面到平面的距离：
其中 为斜向量，
为法向量。
四、异面直线间的距离：
是与 都垂直的向量
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
平面到平面的距离：
异面直线间的距离：
四种距离的统一向量形式：
(1)求B1到面A1BE的距离？
例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
x
y
z
(2)求D1C到面A1BE的距离？
例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
x
y
z
(3)求面A1DB与面D1CB1的距离？
例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
x
y
z
(4)求异面直线D1B与A1E的距离？
例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
x
y
z
F
E
B1
C1
D1
D
C
A
练习：正方体ABCD－A1B1C1D1中，
棱长为1，E、F分别是B1C1和C1D1 的
中点，求点A1到平面DBEF的距离。
B
x
y
z
A1
【总一总★成竹在胸】
点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影(如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值)。
直线到平面的距离：可以转化为点到平面的
距离。
平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、
点到平面的距离。
异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、
点到平面的距离。
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1、掌握用向量知识、方法求异面直线所成的角，直线和平面所成的角和二面角；
2、能综合运用向量知识、方法，灵活解决有关空间角的计算问题。
一、异面直线所成的角：
线线角的范围：
l
m
l
m
一、异面直线所成的角：
x
y
z
C
B1
A1
D1
C1
B
D
A
E 1
F 1
设正方体的棱长为4，
建立如图空间直角坐标系
解：
D
例1：在正方体 中， ，
求 与 所成的角的余弦值。
二、直线和平面所成的角：
线面角的范围：
二、直线和平面所成的角：
建立空间直角坐标系
解：
x
y
z
A
例2：正方体 的棱长为1，
求 与面 所成的角的正弦值。
三、二面角：
面面角的范围：
关键：观察二面角的范围。
例3：在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，
∠ABC=90°, SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1， AD=
求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。
y
x
z
建立空间直角坐标系
解：
因为二面角为锐角。
【总一总★成竹在胸】
(1)求异面直线所成角的公式：
(2)求线面角大小的公式：
(3)求二面角大小的公式：
其中 是异面直线 上的方向向量。
其中 是平面的法向量。
其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。
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