2.2 基本不等式 课件-2021-2022学年吉林省白山市抚松县第一中学高一数学人教A版（2019）必修第一册

(1)学会推导并掌握基本不等式; (2)理解基本不等式的几何意义; (3)掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。 赵爽:弦图 左图是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设 计的。 a b 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形， 它们的面积是S’= 。 问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S= 。 问3：S与S’有什么样的关系？ 问题1：那么它们有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形， 即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 a=b 形的角度： 数的角度： 当a=b时 a2+b2－2ab=(a－b)2=0 结论：一般地，对于任意实数a、b，有 当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式 问题2：当a,b为任意实数时，上式还成立吗？ (特别的)如果 a＞0,b＞0 , 当且仅当a=b 时“＝”号成立 此不等式称为基本不等式 a b o A B P Q 对基本不等式的几何意义作进一步探究: AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP, 则PQ=_____, 半径AO=_____ 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长。 注意: (1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数。 (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 已知 都是正数， 求证： . 证明： 例1: 证明： 例2:已知 都是正数， 求证： . 能否证明不等式： 调和平均数 平方平均数 思考： 证明: 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 练习: 证明: 证明: 练习: 证明: × 思考： 【总一总★成竹在胸】 两个重要的不等式： (1) (2) (当且仅当a=b时，等号成立) $ (1)进一步掌握基本不等式； (2)会利用基本不等式求某些函数的最值，注意等号成立的条件。 基本不等式： 基本不等式链： 一、最值定理: 若x、y皆为正数，则 (1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值_______； (2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______。 ①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件。 一“正” 二“定” 三“相等” 和定积最大，积定和最小 用最值定理求最值的三个条件: 例1： 变式1： 变式2： 例2： 变式1： 变式2： 例3： 例4： 练习1: 练习2: 练习1: 练习2: 【总一总★成竹在胸】 1、两个重要的不等式： (1) (2) (当且仅当a=b时，等号成立) 2、不等式的简单应用：主要在于求最值 把握“七字方针”即 “一正，二定，三等”。 $ (1)进一步掌握基本不等式； (2)会利用基本不等式求某些函数的最值，注意等号成立的条件; (3)能够解决一些简单的实际问题。 基本不等式： 基本不等式链： 例1:(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m. 当且仅当x=y=10时,等号成立. 结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。 例1:(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 当且仅当x=y=9时,等号成立. 则2(x + y)=36, x+y =18 菜园的面积为xy m2 结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。 一、最值定理: 若x、y为正数，则 (1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值_______； (2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______。 ①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件。 一“正” 二“定” 三“相等” 和定积最大，积定和最小 用最值定理求最值的三个条件: × × × 例2: 解