专题05 角平分线与垂直平分线（知识点串讲）-2021-2022学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题05 角平分线与垂直平分线 知识网络 重难突破 一、角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等. 典例1．（2021·广东八年级期中）如图，点 是 内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且 ，则点 是（ ） A． 三边垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点 C． 三条高所在直线的交点 D． 三条中线的交点 【答案】B 【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案． 【解析】解：连接PA、PB、PC． ∵PD＝PF， ∴PB是∠ABC的角平分线， 同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线， 故P是△ABC角平分线交点， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等． 典例2．（2021·重庆江北区·巴川中学校七年级期末）如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．12 C．10 D．7 【答案】B 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用角平分线的性质得出 ，将 的面积表示为 面积之和，分别以AB为底，DF为高，AC为底，DE为高，计算面积即可求得． 【解析】过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴ , ∴ , 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键． 二. 角平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线. 典例1.如图， 的平分线与 的外角平分线相交于点 ，连接 ．求证： 是 的外角平分线． 【答案】见解析． 【分析】作 交 的延长线于 ， 于 ， 于 ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到 ， ，继而根据角平分线的判定解题． 【解析】证明：作 交 的延长线于 ， 于 ， 于 ， 平分 、 平分 , ， ， ， 又 ， ， 是 的外角平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三、角平分线的尺规作图 角平分线的作法： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C, 交OB于点D； ②分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E； ③画射线OE，射线OE即为∠AOB的平分线. 注意：（2）中画弧时，半径一定要大于的长，否则两弧没有交点. 典例1．（2021·宁夏石嘴山市·八年级期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ， 的面积是 ，则 的长为__________ 【答案】4 【分析】过点 作 的垂线交 于点 ，根据角平分线的性质可得 ，再根据三角形的面积即可求出DH，从而求出结论． 【解析】解：如图，过点 作 的垂线交 于点 ， 由题意可得： 平分 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 的面积为 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 典例2．（2021·山东青岛市·八年级期末）已知：如图，∠ABC及边BC上一点D．求作：点P，使点P在∠ABC内部，点P到∠ABC两边的距离相等，且P到D点的距离最短. 【答案】见解析 【分析】利用基本作图，先作∠ABC的平分线，再过D点作角平分线的垂线得到P点． 【解析】解：如图，点P为所作． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线；过一点作直线的垂线）是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和垂线段最短． 四. 垂直平分线的性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 3. 三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点到三个定点的距离相等 典例1．（2021·四川八年级期末）如图，有 、 、 三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ） A． 的三条中线的交点处 B． 三边的垂直平分线的交点处 C． 三条角平分线的交点处 D． 三条高所在直线的交点处 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质判断即可． 【解析】解：根据线段的垂直平分线的