专题九 三角形中的最值(范围)问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题九　三角形中的最值(范围)问题 【方法总结】 三角形中最值(范围)问题的解题思路 任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 考点一　三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 【例题选讲】 [例1](2020·浙江)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0． (1)求角B的大小； (2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围． 解析　(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，又在△ABC中，sin A>0， 故sin B＝，由题意得B＝． (2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈ ． 由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得 cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈． 故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是． [例2](2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac． (1)求B的大小； (2)求cosA＋cosC的最大值． 解析　(1)由a2＋c2＝b2＋ac，得a2＋c2－b2＝ac． 由余弦定理，得cos B＝＝＝．又0＜B＜π，所以B＝． (2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A,0＜A＜． 所以cos A＋cos C＝cos A＋cos＝cos A＋coscos A＋sin sin A ＝cos A－cos A＋sin A＝sin A＋cos A＝sin． 因为0＜A＜，所以＜A＋＜π， 故当A＋＝，即A＝时，cos A＋cos C取得最大值1． [例3](2014·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)若a，b，c成等差数列，证明sinA＋sinC＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值． 解析　(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b．由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB． ∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．由余弦定理得，cosB＝＝≥＝， 当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为． [例4]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0． (1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积； (2)求sin2A＋sin的取值范围． 解析　(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0， 由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0， 求得cosB＝，B＝．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB， 即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB， 求得ac＝40，所以△ABC的面积S＝acsinB＝10． (2)sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝－cos2A＋cosA＋1，A∈， 令u＝cosA∈，y＝－u2＋u＋1∈． 【对点训练】 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)求sinB＋sinC的最大值． 2．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边． (1)求角A的大小； (2)求cosC－sinB的取值范围． 3．(2016山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：a＋b＝2c； (2) 求cosC的最小值． 4．(2015湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角． (1)证明：B－A＝； (2)求sinA＋sinC的取值范围． 考点二　三角形中与边或周长有关的最值(范围) 【例题选讲】 [例1]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc． (1)求角A的大小； (2)若a＝，求BC边上的中线AM的最大值． 解析　(1)由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理，得cos A＝＝＝，又0<A<π，∴A＝． (2)∵AM是BC边上的中线，