专题八 多三角形问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题八　多三角形问题 多三角形计算问题 求解多个三角形问题的关键及思路 求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 【例题选讲】 [例1]如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝． (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 解析　(1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝＝＝， 则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝×－×＝． (2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3． 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcos B＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7． [例2] (2020·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝，B＝45°． (1)求sinC的值； (2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值． 解析　(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，所以b＝． 在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝． (2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角． 而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角．故cos C＝＝，则tanC＝＝． 因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－． 从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C) ＝－＝－＝． [例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5． (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC． 解析　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝． 由题意知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝＝． (2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1． (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD． 解析　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝． (2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－， 由正弦定理得＝，即＝，② ①②两式相除，得＝，即4＝sin θ， 整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，即sin∠CAD＝． [例5]如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上． (1)若∠ADC＝，求AD的长． (2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值． 解析　(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝．∵∠ADC＝，∴∠ADB＝． 在△ABD中，由正弦定理可得＝，∴AD＝． (2)∵BD＝2DC，△ACD的面积为，∴S△ABC＝3S△ACD，则4＝×2×BC×， ∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝＝4． 由正弦定理可得＝，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB． 又∵＝，∴sin∠CAD＝sin∠ADC．∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴＝4． 【对点训练】 1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°． (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA． 2．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2． (1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小； (2)如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积． 3．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2． (