专题六 三角形中面积的计算问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题六　三角形中面积的计算问题 三角形中面积的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，此类问题一般是一问计算角或边，另一问计算面积．对于计算角与边的一问参考专题1，对于计算面积的一问一般用公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．但要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决． 【方法总结】 三角形中面积计算问题的解题技巧 首先处理已知条件中的边角关系，得到两边及夹角，然后使用面积公式求解．对于条件中的边角关系一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形； (2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形； (4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理． 【例题选讲】 [例1]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0． (1)若B＝，求A，C； (2)若C＝，c＝14，求S△ABC． 解析　(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0， 于是sinA＝1或sinA＝－(舍)． 因为0<A<π，所以A＝，又A＋B＋C＝π，所以C＝π－－＝． (2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，① 由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，因为a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b，② 联立①②解得b＝2，a＝4．所以S△ABC＝absin C＝14． [例2](2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB． (1)求角C的大小； (2)若sinA＝，求△ABC的面积． 解析　(1)由题意得，－＝sin2A－sin2B， 即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，sin＝sin．由a≠b，得A≠B． 又A＋B∈(0，π)，得，2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝． (2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝．由a<c，得A<C，从而cosA＝， 故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，所以，△ABC的面积为S＝acsinB＝． [例3](2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2． (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解析　(1)由sinA＋cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－，又0<A<π，所以A＝． 由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos ．即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4． (2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝． 故△ABD与△ACD面积的比值为＝1．又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2， 所以△ABD的面积为． [例4]如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝． (1)求AD的长； (2)求△ABC的面积． 解析　(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－，所以sin∠BAC＝． 又sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD＝， 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0， 解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，所以AD＝3． (2)在△ABD中，＝，又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝，所以sin∠ADB＝， 则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝． 因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以cos∠C＝． 在Rt△ADC中，cos∠C＝，则tan∠C＝＝＝，所以AC＝3． 则△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×3×＝6． [例5]已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3． (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积． 解析　(1)对于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C， 由正弦定理得，bsinB－asinA＝bsinC－csinC，即b2－a2＝bc－c2， 所以cosA＝＝．因为0°