专题五 三角形中边角的计算问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题五　三角形中边角的计算问题 三角形中基本量的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决． 【方法总结】 三角形中基本量的计算问题的解题技巧 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形； (2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形； (4)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； (5)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理． 【例题选讲】 [例1](2020·天津)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝5，c＝． (1)求角C的大小； (2)求sinA的值； (3)求sin的值． 解析　(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，得cosC＝＝． 又因为C∈(0，π)，所以C＝． (2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sinA＝＝． (3)由a<c及sinA＝，可得cosA＝＝， 进而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝． 所以sin＝sin2Acos＋cos2Asin＝×＋×＝． [例2](2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC． (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sinC． 解析　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc． 由余弦定理得cosA＝＝．因为0°<A<180°，所以A＝60°． (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C， 即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－，因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝． [例3] (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos． (1)求角B的大小； (2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解析　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinA＝asinB， 又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，即sinB＝cos，可得tanB＝． 又因为B∈(0，π)，可得B＝． (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝． 由bsinA＝acos，可得sinA＝．因为a<c，故cosA＝． 因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos 2A＝2cos2A－1＝． 所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos 2AsinB＝×－×＝． [例4]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝． (1)证明：sinAsinB＝sinC； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB． 解析　(1)根据正弦定理，可设＝＝＝k(k＞0)， 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，代入＋＝中，有 ＋＝，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C． (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝． 所以sin A＝＝．由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋sin B．故tan B＝＝4． [例5]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cosB)＝b(2－cosC)． (1)求证：2b＝a＋c； (2)若B＝，△ABC的面积为4，求b． 解析　(1)∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，∴由正弦定理可得sinC＋sinCcosB＝2sinB－sinBcosC， 可