专题06 勾股定理的实际应用（2）-【重难点突破】2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（苏科版）

专题06 勾股定理的实际应用（2） 专题知识总结： 勾股定理的实际应用 勾股定逆定理 勾股定理 两个定理的实际运用 题型五 有关“折竹”问题 1．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（　　） A．5米 B．8米 C．9米 D．25 【答案】B 【分析】 设大树高约有米，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】 解：设大树高约有米，由勾股定理得： ， 解得：，负值舍去， 答：大树高约8米． 故选：B． 【点睛】 此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．解：设大树高约有x米，由勾股定理得： 2．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度是（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】 根据题意可设折断处离地面的高度OA是x尺，折断处离竹梢AB是（10－x）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度． 【详解】 解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺， 由勾股定理可得： 即：， 解得：x＝3.2 故折断处离地面的高度OA是3.2尺． 故答案选：D． 【点睛】 本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理． 3．如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处,则旗杆折断部分AB的高度是_________． 【答案】13m 【分析】 在中,利用勾股定理即可直接求出． 【详解】 旗杆折断后,落地点与旗杆底部的距离为,旗杆离地面处折断,且旗杆与地面是垂直的,所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形, 在中,,,根据勾股定理得, , 即旗杆折断部分AB的高度是13m, 故答案为13m． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用,解题的关键是理解题意,灵活运用勾股定理解决问题． 4．在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面__________尺． 【答案】4.55 【分析】 根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【详解】 解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： ， 解得：x=4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 5．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． （探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． （探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． （探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． （探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺． 【分析】 【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题． 【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3； 迁移应用：根