第13课 待定系数法求二次函数的解析式-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第13课 待定系数法求二次函数的解析式 目标导航 课程标准 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 知识精讲 知识点01 用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式： ①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为； ②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为； ③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 能力拓展 考法01 用待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】 本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得： 解得 ∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5. 【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0). 【即学即练1】已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴． 【答案与解析】 解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得 解得 ， ∴抛物线解析式为y=2x2+x； ∴抛物线的对称轴x==． 【典例2】已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式． 【答案与解析】 解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a﹣2=3，即a=5， ∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 【即学即练2】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标. 【答案】（1）． （2）令，得，解方程，得，． ∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为. 【典例3】抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　 　．当x　 　时，y＞0． 【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值． 【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或x＞3 【解析】 解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a（0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1． 故函数表达式为y=x2﹣4x+3． 由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0． 【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 考法02 用待定系数法解题 【典例4】已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案与解析】 (1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得， ∴ ． ∴ ． 即． (2)由(1)知C(0，8)， ∴ ． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式． 分层提分 题组A 基础过关练 1