专题09 导数及其应用-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文科专用）

专题09 导数及其应用（文科） 专题导航 目录 常考点01 导数的几何意义（切线方程） 1 【典例1】 1 【典例2】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02 利用导数研究函数的单调性 2 【典例3】 3 【考点总结与提高】 3 【变式演练2】 3 常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 4 【典例4】 4 【考点总结与提高】 4 【变式演练3】 5 【冲关突破训练】 5 常考点归纳 常考点01 导数的几何意义（切线方程） 【典例1】 1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线在点处的切线方程为___________． 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【典例2】 1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【考点总结与提高】 求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法 （1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上. ②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 【变式演练1】 1．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 2．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________. 3．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______． 4．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________. 常考点02 利用导数研究函数的单调性 【典例3】 1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【考点总结与提高】 1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)； （2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号； （3）作出结论，时为增函数，时为减函数． 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点. 3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解. 【变式演练2】 1．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 2．已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 【典例4】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 2..（2020·北京卷）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小