专题四 三角形中的最值(范围)问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题四　三角形中的最值(范围)问题 三角形中最值(范围)问题的解题思路 任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 考点一　三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 【例题选讲】 [例1](1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 答案　C　解析　因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝＞0，所以A为锐角．又因为a＞b＞c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是． (2)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 答案　A　解析　因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b<3，根据余弦定理cosC＝(a2＋b2－c2)＝(4＋b2－1)＝(3＋b2)＝＋＝2＋≥．所以0<C≤．故选A． (3)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则角A的取值范围为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 答案　B　解析　法一：在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即2sinBcosA＝2sinAcosA，因为A≠，所以cosA≠0，所以sinB＝sinA，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角，又sinB＝sinA∈(0,1]，所以sinA∈，所以A∈． 法二：在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即2sinBcosA＝2sinAcosA，因为A≠，所以cosA≠0，所以sinB＝sinA，由正弦定理，得b＝a，由余弦定理得cosA＝＝≥＝，当且仅当c＝b时等号成立，所以A∈． (4)(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________． 答案　　解析　由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c．由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，故≤cosC<1，故cosC的最小值为． (5)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝_____；tanB的最大值为________． 答案　－3　　解析　由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝．由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tanB＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因为＜C＜π，所以＋(－tanC)≥2＝2(当且仅当tanC＝－时取等号)，从而tanB≤＝，即tanB的最大值为． (6)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是(　　) A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6 解析：由a＝2bsinC得sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，即tanB＋tanC＝2tanBtanC．又三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，∴tanBtanC＝，∴tanAtanBtanC＝tanA·，令tanA－2＝t，得tanAtanBtanC＝＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝， 即t＝2，tan A＝4 时，取等号． 【对点训练】 1．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B ＋sin2C，则角A的取值范围为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范 围是(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 3．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满