专题二 三角形的三线两圆及面积问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题二　三角形的三线两圆及面积问题 一．中线 中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． 证明　在中，，在中，． ． 另外已知两边及其夹角也可表述为：． 证明　由，， ． 二．角平分线 角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1　在中，，在中，，． 证法2　该结论可以由两三角形面积之比得证，即． 三．高 高的性质：分别为边上的高，则 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． 四．外接圆 过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 五．内切圆 与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 考点一　三角形的三线两圆问题 【例题选讲】 [例1] (1)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sinB＝3×＝． (2)在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________． 答案　9　解析　如图所示，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，EC．因为AD是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以BE＝AC＝7．又AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE．在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2(16＋49)，∴BC2＝81，∴BC＝9． (3)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________． 答案　　解析　如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝. 由题意知0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°．∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝． (4)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tanC＝，a＝b＝，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________． 答案　　　解析　因为tan C＝，所以sin C＝，cos C＝，又a＝b＝，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝13＋13－2×××＝16，所以c＝4．由＝，得＝，解得sin∠BAC＝．因为BC边上的中点为D，所以CD＝，所以在△ACD中，AD2＝b2＋2－2×b××cos C＝，所以AD＝． (5)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btanA＝(2c－b)tan B，则bc的值为________． 答案　8　解析　因为btan A＝(2c－b)tan B，所以＝－1，所以1＋＝，根据正弦定理，得1＋＝，即＝．因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝．设BC边上的中线为AM，则AM＝2，因为M是BC的中点，所以＝(＋)，即2＝(2＋2＋2·)，所以c2＋b2＋bc＝32　①．设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sin A，得bc＝，即bc＝2a　②，根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc　③，联立①②③得2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)． (6)已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________． 答案　　解析　不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴sinA＝＝．由(a＋b＋c)r＝bcsin A，得r＝．∴S内切圆＝πr2＝． (7)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　) A．4π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D． 答案　D　解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccosA，又S＝bcsinA，4S＝b2＋c2－1，所以4×bcsinA＝2b