专题一 三角形中基本量的计算问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题一　三角形中基本量的计算问题 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC． 变形 (1) a＝，b＝，c＝； (2) sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (4)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (6)＝2R． cosA＝； cosB＝； cosC＝． 2．三角形面积公式 S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r． 3．解三角形有关的二级结论 (1)三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－． (2)三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠)；④sin＝cos；⑤cos＝sin．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠)． (3)三角形中的不等关系 ①在三角形中大边对大角，大角对大边． ②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． ③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<，sinA<cosB，cosA>sinB． ④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角． ⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． ⑥若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈，则1＜sin x＋cos x≤． (4)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB． 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： ①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形； ②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换； ③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形； ④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； ⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理． 考点一　计算三角形中的角或角的三角函数值 【方法总结】 计算三角形中的角或角的三角函数值的解题技巧 此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决． 【例题选讲】 [例1](1) (2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D． 答案　D　解析　在△ABC中，利用正弦定理得，2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝．又A为锐角，∴A＝． (2)(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________． 答案　(1)75°　解析　由正弦定理，得sinB＝＝＝，结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°． (3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于(　　) A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D． 答案　A　解析　∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sin B＝5sin C．又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B，∴8sinB＝10sin Bcos B．∵sin B≠0，∴cos B＝，∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝． (4) (2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　由题意得sin(A＋C)＋sinA