专题15 利用导数研究函数单调性、极值、最值-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题15利用导数研究函数单调性、极值、最值--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题. 二、教学建议 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间； 2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 三、自主梳理 1、函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2、函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 3、函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 4、函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 四、高频考点+重点题型 考点一、利用导数研究函数单调性 例1-1.（求函数的单调区间） 【2019·天津卷】设函数为的导函数，求的单调区间。 【解析】由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．所以，的单调递增区间为的单调递减区间为． 【答案】的单调递增区间为的单调递减区间为. 例1-2.（讨论函数的单调性） 【2019·全国Ⅲ卷】已知函数f (x)＝2x3－ax2＋b.讨论f (x)的单调性． 解：f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝. ①若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0. 故f (x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减． ②若a＝0，则f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增． ③若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0. 故f (x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 例1-3（证明函数的单调性） 已知函数f(x)＝，x∈(m，＋∞)，证明：函数y＝f(x)在(m，m＋1)上单调递减 证明：因为f(x)＝， 所以f′(x)＝＝， 因为x∈(m，m＋1)时，所以f′(x)＜0， 所以f(x)在(m，m＋1)上单调递减， 例1-4（已知函数单调性求参） 已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函数h(x)＝f (x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f (x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围． 【解析】(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝－ax－2. 因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，即a＞－有解． 设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可． 而G(x)＝－1， 所以G(x)min＝－1，所以a＞－1. 又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞)． (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减， 所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立． 由(1)知G(x)＝－， 所以a≥G(x)max. 而G(x)＝－1. 因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－. 又因为a≠0，所以a的取值范围是∪(0，＋∞)． 对点训练1.（2020·金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增