3.4 方差-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第三章 数据的集中趋势和离散程度 3.4 方差 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。知识梳理 考点1 什么是方差 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。 在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式： 为总体方差，x为变量，为总体均值，为总体例数。 实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后， 样本方差计算公式： 为样本方差，为变量，为样本均值，为样本例数。 在概率分布中，设是一个离散型随机变量，若E((X-E(X))2)存在，则称E((X-E(X))2)为的方差，记为 ，或，其中是的期望值，是变量值，公式中的是期望值expected value的缩写，意为“随机变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。方差计算公式： 当称为变量的方差，而  称为标准差（或均方差）。它与有相同的量纲。标准差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量 。 对于连续型随机变量，若其定义域为，概率密度函数为，连续型随机变量X方差计算公式： 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大）若X的取值比较集中，则方差 较小，若X的取值比较分散，则方差较大。 因此，是刻画取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。 例题剖析 下列说法正确的是（　　　）【例题1】 A．端午节我们有吃棕子的习俗，为了保证大家吃上放心的棕子，质监部门对广安市市场上的棕子实行全面调查 B．一组数据－1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7 C．海底捞月是必然事件 D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定 【答案】D 【分析】 根据全面调查和抽查的特征、众数、中位数的定义、必然事件与不可能事件的判断和方差的意义逐一判断即可． 【详解】 解：A. 因为粽子量大，故应采用抽样调查，故本选项错误； B. 一组数据－1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，故本选项错误； C. 海底捞月是不可能事件，故本选项错误； D. 甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，由1.2＜1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，故本选项正确． 故选D． 【点睛】 此题考查的是调查方式的判断、众数、中位数、方差和随机事件，掌握全面调查和抽查的特征、众数、中位数的定义、必然事件与不可能事件的判断和方差的意义是解题关键． 下列命题中真命题是（ ）【例题2】 A．的算术平方根是2 B．数据2，0，3，2，3的方差是 C．正六边形的内角和为360° D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【分析】 A.根据算术平方根解题； B.根据方差、平均数的定义解题； C.根据多边形的内角和为解题； D.根据菱形、梯形的性质解题． 【详解】 A. ，2的算术平方根是，故A错误； B. 数据2，0，3，2，3的平均数是，方差是 ，故B正确； C. 正六边形的内角和为，故C错误； D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D错误， 故选：B． 【点睛】 本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 好题速递 基础巩固 1．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】 根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，由此判断即可． 【详解】 解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是甲， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 2．甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为，方差，；则投篮的命中率较稳定的是