2.7 弧长及扇形的面积-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第二章 对称图形——圆 2.7 弧长及扇形的面积 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.知识梳理 考点1弧长公式 知识梳理 例题剖析 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）【例题1】 A．π B．2π C．3π D．5π 【答案】B 【解析】 连接OB， ∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°． ∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°． ∵OB=OC，∴∠OCB=30°．∴∠BOC=120°． ∴的长为．故选B． 如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1 作 ⊙O2的两条切线，切点分别为A、B，与⊙O1分别交于C、D，则弧APB与弧CPD的弧长之和为（ ）【例题2】 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 APB的弧长=， CPD的弧长= ∴APB与CPD的弧长之和为2π． 故选A． 知识梳理 考点2扇形面积公式 1.扇形的定义 ：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（　　）例题剖析 【例题1】 A．14 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】 阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积． 【详解】 解：Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 =24． 故答案选：C． 【点睛】 本题主要考查了扇形面积的计算公式，解题的关键是把阴影部分的面积看作是几个规则图形的面积和或差． 如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A、D为圆心，以AB长为半径画、．若AB＝a，则阴影部分图形的面积为（　　）（结果保留到0.01，参考：sin72°≈0.951，tan36°≈0.727）【例题2】 A．0.45a2 B．0.3a2 C．0.6a2 D．0.15a2 【答案】A 【分析】 如图，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OB，OC，连接AF，EO并延长交BC于G，过E作EH⊥AF于H，得到∠EAB＝∠AED＝＝108°，∠BOC＝＝72°，EG⊥BC，AE＝AF，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠AFE＝54°，得到EH＝0.951a，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：如图，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OB，OC， 连接AF，EO并延长交BC于G，过E作EH⊥AF于H， 则∠EAB＝∠AED＝＝108°，∠BOC＝＝72°，EG⊥BC，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝54°， ∴∠EAF＝72°， ∴∠BAF＝36°， ∵AE＝AF＝AB＝a， ∴sin72°＝＝0.951， ∴EH＝0.951a， ∴S弓形EF＝S扇形EAF﹣S△AEF＝﹣a•0.951a＝﹣0.951a2＝0.1528a2， ∵S扇形EAB＝＝＝0.942a2， ∴S空白＝2×（0.942a2﹣2×0.1528a2）＝1.2728a2， ∵∠BOG＝36°，BG＝a， ∴OG＝， ∴S△OBC＝BC•OG＝a×， ∴正五边形ABCDE的面积＝5S△BOC＝＝1.719a2， ∴阴影部分图形的面积＝正五边形ABCDE的面积﹣S空白≈0.45a2， 故选择：A． 【点睛】 本题考查阴影部分面积，学会用割补的方法求面积，掌握三角形面积，扇形面积，弓形面积，正多边形面积求法是解题关键 好题速递 基础巩固 1．半径为6，圆心角为的扇形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用扇形的面积公式