2.6 正多边形与圆-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第二章 对称图形——圆 2.6 正多边形与圆 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是.知识梳理 考点1 正多边形的重要元素 知识梳理 例题剖析 高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于( )【例题1】 A．11° B．17° C．21° D．25° 【答案】C 【详解】 正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等,即360°÷17≈21°． 故选C． 如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．【例题2】 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB， ∴OG=OA•sin60°=2×=， ∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-． 故选A． 知识梳理 考点2正多边形的性质 　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）例题剖析 【例题1】 A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【详解】 试题分析：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°， 正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°， 正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°， 正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°， ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形， 故选A． 考点：正多边形和圆． 如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）．【例题2】 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为． 考点：正多边形的中心角定义及求法． 知识梳理 考点3正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 例题剖析 下列命题是假命题的是（　　）【例题1】 A．三角形两边的和大于第三边 B．正六边形的每个中心角都等于 C．半径为的圆内接正方形的边长等于 D．只有正方形的外角和等于 【答案】D 【分析】 根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可. 【详解】 A、三角形两边的和大于第三边，A是真命题，不符合题意； B、正六边形条边对应个中心角，每个中心角都等于，B是真命题，不符合题意； C、半径为的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，设边长等于，则：，解得边长为，C是真命题，不符合题意； D、任何凸边形的外角和都为，是假命题，符合题意， 故选D. 【点睛】 本题考查了真假命题，熟