专题04 全等三角形的判定（知识点串讲）-2021-2022学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）

专题04 全等三角形的判定 知识网络 重难突破 一、三角形全等的判定方法及思路 1. 全等三角形的判定方法： “边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． “角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． “边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． “角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． “斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2. 全等三角形的证明思路 典例1．（2021·浙江八年级期末）如图，已知 ，下列不能判断 的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个判断即可． 【解析】解：A、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△CDF，故本选项不符合； B、∵AC=BD，∴AB=CD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△CDF，故本选项不符合； C、符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△CDF，故本选项不符合； D、属于SSA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△CDF，故本选项符合； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，平行线的性质的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 典例2．（2020·连江县凤城中学八年级月考）如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△CDE． 【答案】见解析 【分析】用斜边、直角边证明Rt△ABF≌Rt△CDE全等即可． 【解析】证明：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=EC． 又∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90°． 在Rt△ABF与Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，解题关键是熟练运用斜边、直角边证明两个直角三角形全等． 二. 全等的几种模型 ⑴ 平移型 ⑵ 对称型 ⑶ 旋转型 典例1.（2021·重庆南开中学七年级期末）如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC=DF，∠A=∠EDF，∠E+∠CBE=180°，求证：AD=BE． 【答案】见解析 【分析】根据等角的补角相等得出∠E=∠CBA，再根据AAS证得△ACB≌△DEF，从而得出结论； 【解析】证明：∵∠E+∠CBE=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴∠ABC=∠E， 在△ACB与△DFE中， ∴△ACB≌△DFE， ∴AB=DE， ∴AD=BE， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 典例2.（2020·江苏八年级期中）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA＝FB，AB＝CD，EC＝FD． 求证：（1）△AEC≌△BFD； （2）EA∥FB． 【答案】见解析 【分析】（1）直接利用“SSS”证明即可； （2）由全等可得出∠EAC＝∠FBD，从而得出结论． 【解析】（1）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， 在△AEC和△BFD中， ∴△AEC≌△BFD（SSS）； （2）由（1）得：△AEC≌△BFD， ∴∠EAC＝∠FBD， ∴EA∥FB．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用证明方法结合平行线的判定是解题关键． 典例3.（2020·山西八年级期中）如图， ， ， ， （1）求 的度数； （2）若 ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【解析】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 三、尺规作角等于已知角 已知：如图，∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法： （1）作射线O′A′； （2）以O为圆心