第10章 不等式-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

参考答案 所以|PQ 1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2= (3-m)×2×(2+)=(3-m) +,263k+2-m 2+3k m2+2+m2 因为点O到直线l的距离为d= 1+k2 所以OM·|PQ<5,当且仅当3-=2+工, 所以S△CQ 即m=士√2时,等号成立 2√6√3k2+2- 2+3k 方法2:因为4OM2+PQ|2= (x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2 6|m√3k2+2 2[(x1+x2)+(y2+y2)]=10 整理得3k2+2=2m2,且符合(兴)式 所以:2OM,|PQ≤4OM+PQ=10=5 此时x1+x2=(x1+x2)2-2x1x2 即OM|·|PQ≤ 2+3k2 2+3k 当且仅当2OM=|PQ|=√5时,等号成立 (Ⅲ)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得 综上所述,x2+x2=3,y1+y2=2,结论成立 证明:假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2) 方法2:设P1(x1,y1)=(3cosa,v2sina),P2(x2,y2 (3 cos B,2 sin B) 满足 △OG一①△OEG 由(1)得2+x2=3,2+x2=3,x2+x2=3; △OPQ x2+y2=2,x2+y2=2,y2+y2=2 2 v3 cos av2 sin P-v3 cos pv2 sin a 解得n2=x2=x=3;=y2=y2=1. 61sin(a-p)|=2 因此u,x1,x3只能从士y中选取,v,y,y2只能从±1 当sim(a-p=士1→a-P=2+k时,取 中选取, 所以x2+x2=3,y1+y2=2 因为D,E,G只能在(士y0,±1)这四个点中选取三个 (3)公式Sm=2|x1y2-x2y1的推导 不同点 →y2x-x2y= 点P(x1,y1)到直线OQ的距离 第十章不等式 选择题 1.C方法1:当x>2时,原不等式化为 △OPQ 911y2.2J (Ⅱ)方法1:当直线l的斜率存在 去分母得(x+2)(3-x)>(x+3)(x-2) 时,由(1)知+x2_3k 注意x>2得2<x<√6; y1+y2 当0<x<2时,原不等式化为 去分母得 即2x>0注意0<x<2,得0<x<2.综上得0<x<√6, OM I 所以选C. 方法2:特殊值法取x=2,适合不等式,排除A;取x PQ|2=(1+k 24(3k2+2-m2)2(m2+1) 2.5,不适合不等式,排除D;再取x=√6,不适合不等式, (2+3k2) 所以排除B;选C. 点评:此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算 所以|OM|2·PQ 275 全国重点大学招生强基计划数学解难 2.C因为x∈Rf 6.B方法1:a+ab+abc=a(1+b(1+c))≤ x1∈(0,1),x2∈(1,+∞) 对上式直接求导得到a=2时取最大值为4,取等条件是 方法2:直接将c=3-a-b代入得到a+ab+abc= ba2+(1+4b-b)a,将之视为关于a的二次函数得到 1+4b-b2 f(0)>0 时取值最小+4b-62 对该式求导得 f(1)<0 到b=1取最小值,其余同上 点评:方法1主要想法是配凑均值不等式,需要注意和 3,所以选C 与积的对应关系;方法2是多元函数求极值中的主元 D当x>0时,f(x)=1 (x-1)(x+1) 所以 思想 ∫(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以7.B由∫(1)=z+2,知 (x)在(0,+∞)上的最小值为f(1)=2+a,要使∫(0) f(x)+f(y)≤2可被写作 y=-x-2 是f(x)的最小值,则当x≤0时,f(x)的最小值为f(0) (x+1)2+(y+1)2≤4, 所以∫(x)在(一∞,0上单调递减,则有a≥0且 f(x)≥f(y),进而x+1≥ f(0)≤f(1)=2+a,即a≥0且a2≤2+a y+1|,作图可知可行域 解得0≤a≤2.故本题正确答案为D 面积为2π 4. D g(x)=2x-3sin A g(x)=2--3cos a 8.C易证对任意-6≤x, 当0<x< arccos时,g(x)<0,g(x)是减函数, x≤10,有不等式x2+x2≤(x,+x-10)2+102及 g(x)<g(0)=0,.2x<3sin x x2+x2≤(x,+x1-(-6)2+(-6)2成立,因此对 当 arccos2<x<时,g(x)>0,g(x)是增函数 6≤x+x1-10≤10即4≤x+x1≤20时,可将x,,x 调整为x+x1-10和10(由于要保持所有的x都要在 但g(arc3人0,g2)>0 6到10之间),使得∑x变大,并且∑x不变 在区间 Marcos 有且仅有一点0使g(0)=0 x1-(-6)≤10,即-1