2.4 圆周角-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第二章 对称图形——圆 2.4 圆周角 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 2.圆周角定理： 　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识梳理 考点1 圆周角 （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部． 例题剖析 如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（　　）【例题1】 A．24° B．26° C．28° D．30° 【答案】B 【分析】 先根据圆周角定理得到∠BOC=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数． 【详解】 ∵∠A与∠BOC都对 ， ∴∠BOC＝2∠A＝2×64°＝128°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝（180°﹣128°）＝26°． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 如图，是半⊙的直径，点是弧的中点，D为弧BC的中点，连接，于点．则（ ）【例题2】 A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】 连接，，，在上取一点，使得，连接．证明，，可得结论． 【详解】 解：如图，连接，BC、． ∵是直径， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在上取一点，使得，连接． 设，则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：C 【点睛】 本题考查圆圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知上述的定理或推论是解题的基础，根据题目特征，在EA上取点T，构造出两个特殊三角形和是解题的关键． 知识梳理 考点2圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）例题剖析 【例题1】 A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA 【答案】D 【分析】 根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析． 【详解】 解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴，AD=DC，故A、B正确； ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确； ∵，∴∠DAB＞∠CBA，故D错误． 故选D． 好题速递 基础巩固 1．如图，已知是直径，是弦，，过圆心作交弧于点，连接，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据圆周角定理，∠DCB=∠BOD，只要求出∠BOD即可解决问题； 【详解】 解：如图，OD交BC于E． ∵OD⊥BC， ∴∠OEB=90°， ∵∠ABC=40°， ∴∠BOD=50°， ∴∠DCB=∠BOD=25°， 故选：C． 【点睛】 本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据等边对等角及圆周角定理求角即可． 【详解】 解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=50°， ∴∠AOB=80°， ∴∠ACB=40°． 故选：B． 【点睛】 此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理，难度不大． 3．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　） A．83° B．84° C．86° D．87° 【答案】C 【分析】 圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】 解：∵∠ACB＝43°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝86°， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键. 4．如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（ ） A．26° B．27° C．28° D