专题14 导数概念及运算-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题14导数概念及运算--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 三、自主梳理 知识点1．导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． 知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点3．函数在处的导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 四、高频考点+重点题型 例1-1（常见函数及它们的和差积商的求导） (2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝.若f ′(1)＝，则a＝________. 【答案】1　 【解析】f ′(x)＝，则f ′(1)＝＝，解得a＝1. 例1-2（复合函数求导） 设函数 f(x)＝ln .，则f ′(x)= 【解析】因为y＝ln ＝ln， 所以y′＝··(1＋2x)′＝. 例1-3（ 理解f′(x0)与f(x)区别与联系 ） （2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数，则（ ） A． B． C．6 D．14 【答案】C 【解析】 求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值. 【详解】 ，则， 则， 故选：C 对点训练1. (2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________. 【答案】e 【解析】由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e. 对点训练2．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝(　　) A．－sinx－cosx B．sinx－cosx C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx 【答案】C 【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx. 对点训练3.(2021·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A.－e B.2 C.－2 D.e 【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2. 考点二、求切线方程 例2-1（已知切点的切线问题） （2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为f (x)＝