3.3 幂函数-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 一.单选题 1．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　　　 B．1 C．2 D．3 B【解析】因为y＝＝x－2，是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数． 2．幂函数的图像经过点，则（ ） A．2 B． C． D． B【解析】因为，所以，所以. 3．（2021山东省烟台市三中高一月考）设，则使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是（ ） A．0，2 B．0，-2 C． D．2 D【解析】若函数的定义域是，则；又函数为偶函数，所以只能使偶数；因为，所以能取的值为2. 4．若函数是幂函数，且图像与坐标轴无交点，则（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是单调递增函数 D．在定义域内有最小值 A【解析】幂函数可知, ,得或.当时过故不满足，当时满足条件.因为是奇函数,故A正确.B错.又在与上均为减函数,C错.又值域为,无最小值.故D错. 5．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（ ） A．2，1，， B．2，，1， C．，1，2， D．，1，2， A【解析】幂函数在区间上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为. 6．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 C【解析】由已知得2a＝，得a＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单增，则g(x)min＝g＝－3. 二.多选题 7．（2021山东省泰安市一中高一月考）下列命题中是真命题的有（ ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不可能过第四象限 C．当时，幂函数是增函数 D．当时，幂函数在第一象限是减函数 BD【解析】由题意，A中，例如的图象不经过点，所以不正确；B中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的；C中，例如在其定义域上不是单调函数，所以不正确；D中，根据幂函数的图象与性质，可得当时，幂函数在第一象限内是减函数，所以是正确的. 8．下列关于幂函数y＝xα的性质，描述正确的有（　） A．当α＝﹣1时函数在其定义域上是减函数 B．当α＝0时函数图象是一条直线 C．当α＝2时函数是偶函数 D．当α＝3时函数有一个零点0 CD【解析】对于A，α＝﹣1时y＝x﹣1在（﹣∞，0）和（0，+∞）是减函数，在其定义域上不是减函数，A错；对于B，α＝0时y＝x0＝1（x≠0），图象是一条直线，去掉点（0，1），B错；对于C，α＝2时y＝x2在定义域R上是偶函数，C对；对于D，α＝3时y＝x3在R上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D对． 三.填空题 9．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________． 【答案】－1 【解析】由题意得，m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.当m＝3时，f(x)＝x－1，此时x∈[－6,6]，∵f(x)在x＝0处无意义，∴不符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，函数f(x)在[－2,2]上是奇函数，符合题意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1. 10．（2021辽宁省葫芦岛市七中高一月考）幂函数f（x）＝x3m﹣5（m∈N）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣x） ＝f（x），则m等于　　． 【答案】0 【解析】幂函数f（x）＝x3m﹣5在（0，+∞）上是减函数，则3m﹣5＜0，解得m＜；又m∈N，所以m＝0或1；又f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为奇函数，所以m＝0． 11．【P91习题3.3第1题】 （变式1）已知幂函数的图像经过点，则不等式的解集是________． 【答案】{x|－4≤x≤4} 【解析】由题，∴α＝，∴ f(x)＝x，∴ |x|≤2，即|x|≤4，不等式f(|x|)≤2的解集是{x|－4≤x≤4}. （变式2）已知函数，若，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】易知函数是定义域内的单调递减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是． 四.解答题 12.已知函数f（x）＝（m