专题12函数与方程-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题12函数与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题． 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大. 三、自主梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆） Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 四、高频考点+重点题型 考点一、求解函数零点 例1-1（直接求解函数零点） (2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]所有零点之和为 【答案】3π　 【解析】由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个. 例1-2（二分法求零点） 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01) 【答案】1.56 【解析】 注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56. 对点训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 当时,所以,,此时函数的小于零的零点为;当时,,函数无零点;当时,,,函数大于2的零点为,综上可得.故选A. 对点训练2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ） A．[－2.1，－1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1] 【答案】C 【解析】 结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C 对点训练3．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等分__________次. 【答案】5 【解析】 因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次. 故答案为5. 考点二、判断函数零点个数 例2-1（直接求解零点） （2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______. 【答案】2 【解析】 函数的零点即方程的根， 函数的零点个数，即方程的根的个数. . 当时，. 当时，或或（舍）. 当时，，方程无解. 综上，方程的根为，1. 所以方程有2个根，即函数有2个零点. 故答案为：2. 例2-2（零点存在定理+单调性） （2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】 由题意得为连续函数，且在单调递增， ，，， 根据零点存在性定理，， 所以零点一定位于区间. 故选：C